Введение обозначений. Утверждения и их доказательство

4 ВАРИАНТА · 1 БАЛЛ

1. Читаем математическую запись

Выберите запись, которая означает: «существует натуральное число, большее 20».

• Существует натуральное число $n$, для которого $n<20$.
• Существует натуральное число $n$, для которого $n>20$.
• Для любого натурального числа $n$ верно $n>20$.
• Для любого натурального числа $n$ верно $n<20$.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

2. Общие утверждения и существование

Заполните пропуски в математических формулировках.

натурального числа $n$, для которого $n+1>n$. Для натурального числа $n$ верно $n+1>n$. натуральное число, которое делится на 2 и на 3.

5 УТВЕРЖДЕНИЙ · 2 БАЛЛА

3. Проверяем утверждения о натуральных числах

Определите истинность каждого утверждения. Оценивайте только математическую истинность утверждения для натуральных чисел.

1. Для любого натурального числа $n$ число $n+2$ больше $n$.ИстинаЛожь
2. Существует натуральное число, которое меньше любого натурального числа.ИстинаЛожь
3. Для любого натурального числа $n$ число $2n$ является чётным.ИстинаЛожь
4. Существует натуральное число, которое одновременно делится на 4 и на 6.ИстинаЛожь
5. Для любого натурального числа $n$ число $n^2$ меньше $n$.ИстинаЛожь

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

4. Соотносим запись и смысл

Соедините каждую запись с её смыслом.

4 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

5. Различаем вид утверждения

Заполните пропуски в таблице: определите, является ли утверждение общим или утверждением о существовании, и приведите подходящий пример либо контрпример.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

6. Доказываем общее утверждение

Докажите, что сумма двух последовательных натуральных чисел всегда нечётна. Запишите рассуждение с обозначением меньшего числа буквой $n$.

1 КОНТРПРИМЕР · 2 БАЛЛА

7. Находим контрпример

Опровергните утверждение «для любого натурального числа $n$ число $n^2+n+41$ простое». Запишите одно значение $n$, при котором утверждение неверно, и результат вычисления.

4 ВАРИАНТА · 1 БАЛЛ

8. Выбираем достаточное доказательство

Какое рассуждение доказывает утверждение «существует натуральное число, которое делится на 4 и на 6»?

• Любое натуральное число больше $12$.
• Числа $4$ и $6$ различны.
• Число $12$ делится и на $4$, и на $6$.
• Число $5$ не делится на $4$.

4 ПРИМЕРА · 2 БАЛЛА

9. Проверяем квантор «для любого»

Определите, какое утверждение опровергает каждый пример. Запишите номер примера для утверждения, которое является ложным.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

10. Ищем ошибку в доказательстве

Определите истинность утверждений о делимости.

1. Если число делится на 10, то оно делится на 5.ИстинаЛожь
2. Если число делится на 5, то оно делится на 10.ИстинаЛожь
3. Существует число, которое делится на 2, на 3 и на 5.ИстинаЛожь
4. Для любого натурального числа $n$ число $n^2$ делится на 2.ИстинаЛожь