Разберём, как удвоение медианы помогает строить и доказывать свойства четырёхугольников, а центральная симметрия — видеть их скрытую связь.
№1 · ИСТИНА / ЛОЖЬ
4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА
1. Свойства медианы и центральной симметрии
Определите истинность каждого утверждения, опираясь на свойства медианы треугольника и центральной симметрии.
Если точка M — середина отрезка AB, то при центральной симметрии с центром M точка A переходит в точку B.ИстинаЛожь
Метод удвоения медианы позволяет получить параллелограмм, достраивая треугольник относительно середины одной из его сторон.ИстинаЛожь
При центральной симметрии расстояние между двумя точками обязательно изменяется.ИстинаЛожь
Медиана треугольника соединяет вершину с точкой, делящей противоположную сторону на три равные части.ИстинаЛожь
№2 · СОЕДИНЕНИЕ
4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА
2. Термины и их определения
Соедините каждый геометрический термин с его определением.
Медиана треугольника
Центр симметрии
Центральная симметрия
Метод удвоения медианы
Точка, являющаяся серединой отрезка между симметричными точками
Построение параллелограмма по треугольнику и его медиане
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Преобразование, при котором центр симметрии является серединой каждого отрезка между точкой и её образом
№3 · ЗАДАЧА
1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА
3. Построение параллелограмма по медиане
В треугольнике ABC медиана AM равна 5 см. Точку M считают центром центральной симметрии и строят точку D, симметричную вершине A относительно M. Докажите, что четырёхугольник ABDC является параллелограммом, и найдите длину отрезка AD.
№4 · МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РИСУНОК
1 ПОСТРОЕНИЕ · 2 БАЛЛА
4. Удвоение медианы треугольника
Постройте треугольник ABC, проведите медиану AM к стороне BC, а затем постройте точку D, симметричную точке A относительно M. Полученный четырёхугольник рассмотрите как результат удвоения медианы.
№5 · ИСТИНА / ЛОЖЬ
5 УТВЕРЖДЕНИЙ · 3 БАЛЛА
5. Удвоение медианы и центр симметрии параллелограмма
Определите истинность каждого утверждения, опираясь на свойства параллелограмма и центральной симметрии, а также на метод удвоения медианы. Для утверждений о построении проверьте последовательность рассуждений: середина одного отрезка должна быть центром симметрии и серединой другого.
В треугольнике ABC точка M — середина BC. Если точку D построить центрально симметричной точке A относительно M, то четырёхугольник ABDC является параллелограммом.ИстинаЛожь
В построенном параллелограмме ABDC отрезок AD является диагональю, а точка M — его серединой.ИстинаЛожь
Если в четырёхугольнике ABCD диагональ AC имеет середину M, а точка D центрально симметрична точке B относительно M, то из этого следует, что ABCD — прямоугольник.ИстинаЛожь
Центральная симметрия параллелограмма относительно точки пересечения диагоналей переводит каждую вершину в противоположную вершину.ИстинаЛожь
Чтобы методом удвоения медианы получить параллелограмм, достаточно выбрать любую точку D на продолжении медианы за её середину; требование центральной симметрии относительно середины медианы несущественно.ИстинаЛожь
№6 · СОЕДИНЕНИЕ
4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА
6. Свойство и следствие
Соедините каждое свойство с правильным следствием.
Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам
Точка O — центр симметрии отрезка AB
В четырёхугольнике диагонали делятся пополам
Точка D симметрична точке A относительно M
Четырёхугольник является параллелограммом
M — середина отрезка AD
O — середина отрезка AB
Точка пересечения является серединой обеих диагоналей
№7 · ЗАДАЧА
1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА
7. Центральная симметрия в параллелограмме
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AO = 7 см и BO = 4 см. Найдите длины диагоналей AC и BD.
№8 · МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РИСУНОК
1 ПОСТРОЕНИЕ · 2 БАЛЛА
8. Центрально-симметричная фигура
Постройте произвольный треугольник ABC и его образ при центральной симметрии относительно точки O. Для каждой вершины постройте симметричную точку так, чтобы O была серединой соответствующего отрезка.
№9 · ИСТИНА / ЛОЖЬ
4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА
9. Сохранение свойств при симметрии
Определите истинность утверждений о свойствах фигур и отрезков при центральной симметрии.
Центральная симметрия сохраняет длины отрезков.ИстинаЛожь
Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр, в параллельную ей прямую.ИстинаЛожь
При центральной симметрии каждая точка фигуры остаётся на своём месте.ИстинаЛожь
Образом параллелограмма при центральной симметрии может быть прямоугольник.ИстинаЛожь
№10 · СОЕДИНЕНИЕ
4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА
10. Действие и результат построения
Соедините действие с результатом, который следует из него.
Построить точку B, симметричную A относительно O
Удвоить медиану AM
Проверить, что диагонали делятся пополам
Соединить симметричные вершины
Использовать признак параллелограмма
O должна быть серединой отрезка AB
Получить отрезки, имеющие общий центр симметрии
Построить точку D так, чтобы M была серединой AD
№11 · ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
1 ВОПРОС · 3 БАЛЛА
11. Какой четырёхугольник образуется при удвоении медианы?
В треугольнике ABC отрезок AM — медиана, поэтому M — середина стороны BC. Точку D получили центральной симметрией точки A относительно центра M. Какой вид четырёхугольника ABDC можно установить по этим данным?
№12 · УДВОЕНИЕ МЕДИАНЫ
2 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА
12. Вычисление сторон параллелограммов через удвоенную медиану
В двух треугольниках медианы удваивают до сторон параллелограммов с помощью центральной симметрии. Вычисли длину каждой полученной стороны: сначала выполни действия в скобках, затем умножь результат на 2 и запиши ответ с единицами измерения.
1)2⋅(11−3)см
2)2⋅(2⋅5+1)см
№13 · ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
4 ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА · 3 БАЛЛА
13. Центрально-симметричные четырёхугольники
Найди лишний объект. Объясни, какое свойство объединяет остальные три четырёхугольника.
Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Равнобокая трапеция
+12 заданий в этом листе
Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.
№14 · МЕТОД УДВОЕНИЯ МЕДИАНЫ
3 ПРОПУСКА · 3 БАЛЛА
14. Центральная симметрия и ромб из медианы
Заполните пропуски, выстроив цепочку рассуждения от удвоения медианы к виду четырёхугольника.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC точка M — середина BC. Точку D построили так, что M — середина AD. Диагонали четырёхугольника ABDC , поэтому он является параллелограммом. Точка M — центр его . Так как AB = AC, а BD = AC, параллелограмм ABDC является .
№1 · КРАТКИЙ ОТВЕТ
1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ
1. Свойство диагоналей параллелограмма
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Если AC = 18 см, найдите AO.
№2 · СОЕДИНЕНИЕ
3 ПАРЫ · 1 БАЛЛ
2. Фигура и её центр симметрии
Соедините каждую фигуру с точкой, которая является её центром центральной симметрии.
А)Параллелограмм
Б)Прямоугольник
В)Ромб
1)Середина любой стороны
2)Точка пересечения диагоналей
3)Точка пересечения диагоналей
4)Точка пересечения диагоналей
А
Б
В
№3 · ПРОПУСКИ
3 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ
3. Построение параллелограмма по медиане
Заполните пропуски в описании метода удвоения медианы.
Если M — середина стороны треугольника ABC, то при продолжении медианы AM за точку M на отрезок = AM и соединении точек получается параллелограмм.
№4 · РЕШИ ЗАДАЧУ
1 ЗАДАЧА · 1 БАЛЛ
4. Медиана и удвоенный отрезок
В треугольнике ABC медиана AM равна 7 см. Точку M продолжили до точки D так, что MD = AM. Найдите AD.
№5 · МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РИСУНОК
ПОСТРОЕНИЕ · 2 БАЛЛА
5. Построение точки, симметричной данной
Постройте точку B, центрально симметричную точке A относительно центра O. Используйте линейку: точки A, O и B должны лежать на одной прямой, а O должна быть серединой отрезка AB.
№6 · КРАТКИЙ ОТВЕТ
1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА
6. Признак параллелограмма по диагоналям
В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO = OC и BO = OD. Какой вывод можно сделать о четырёхугольнике ABCD?
№7 · СОЕДИНЕНИЕ
4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА
7. Условие и следствие центральной симметрии
Соедините условие с правильным следствием. Каждое следствие используется один раз.
Точка O — середина отрезка AB
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O
В треугольнике ABC медиана AM продолжена до D так, что MD = AM
В ромбе диагонали пересекаются в точке O
ABCD — параллелограмм
Точки A и B симметричны относительно O
O — центр симметрии параллелограмма
O — центр симметрии ромба
№8 · ПРОПУСКИ
4 ПРОПУСКА · 3 БАЛЛА
8. Доказательство параллелограмма методом удвоения медианы
Восстановите пропущенные элементы доказательства. В треугольнике ABC точка M — середина BC, а точка D выбрана так, что MD = AM. Докажите, что ABDC — параллелограмм.
Так как M — середина BC, то = MC. По построению = AM. Диагонали и четырёхугольника ABDC в точке M делятся пополам, значит, ABDC — .
№9 · РЕШИ ЗАДАЧУ
1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА
9. Параллелограмм из равных половин диагоналей
В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO = OC = 6 см и BO = OD = 4 см. Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите длины диагоналей AC и BD.
№10 · МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РИСУНОК
ПОСТРОЕНИЕ · 5 БАЛЛОВ
10. Построение параллелограмма по медиане
В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Постройте точку D, симметричную точке A относительно точки M, а затем соедините точки A, B, D и C. Получившийся четырёхугольник используйте для объяснения метода удвоения медианы.
