Рабочий лист на тему:

Треугольники

Подтемы: Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, Равнобедренные и равносторонние треугольники, Признаки и свойства равнобедренного треугольника, Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Геометрия7 класс20 заданий

Реши задачуМножественный выборЗаполни пропускиИстина / ЛожьСоединениеТаблица

Типы заданий

Реши задачуМножественный выборЗаполни пропускиИстина / ЛожьСоединениеТаблица

Треугольники

7 класс · средний

Ф.И.
Класс

Сегодня мы закрепим знания о равнобедренных треугольниках и изучим особые свойства прямоугольных. Эти задачи часто встречаются в контрольных работах!

№1 · ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

5 БАЛЛОВ · СЛОЖНОЕ

1. Высота и медиана

В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$ проведены высота $C H$ и медиана $C M$ . Найдите длину высоты $C H$ , если известно, что $∠ A = 7 5^{\circ}$ , а гипотенуза $A B = 44$ см. Обоснуйте каждый шаг решения.

№2 · РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

2. Биссектриса и углы

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ проведена биссектриса угла при основании $A D$ . Найдите углы треугольника $A B C$ , если известно, что отрезок $A D$ равен основанию $A C$ .

Чертеж к задаче

№3 · МЕДИАНА

3 ШАГА · 3 БАЛЛА

3. Метод удвоения медианы

В треугольнике $A B C$ проведена медиана $A D$ . На продолжении медианы за точку $D$ отложен отрезок $D E$ , равный $A D$ . Найдите длину отрезка $E C$ , если известно, что сторона $A B$ равна $15$ см. Обоснуйте решение, используя признаки равенства треугольников.

Дополнительное построение: удвоение медианы $A D$

№4 · СВОЙСТВА СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА

АНАЛИЗ СЛУЧАЕВ · 3 БАЛЛА

4. Периметр и неравенство треугольника

Периметр равнобедренного треугольника равен $42$ см. Известно, что разность двух его сторон составляет $12$ см. Найдите длины всех сторон треугольника. Учтите, что задача может иметь несколько случаев, каждый из которых необходимо проверить на соответствие неравенству треугольника.

№5 · БИССЕКТРИСА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

3 БАЛЛА

5. Свойство биссектрисы и угла 60°

В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$ и углом $∠ A = 6 0^{\circ}$ проведена биссектриса катета $A K$ . Найдите длину этой биссектрисы, если известно, что разность отрезков $B K$ и $C K$ составляет $6$ см.

№6 · РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

3 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ

6. Биссектриса и равенство сторон

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ проведена биссектриса угла $A$ — отрезок $A D$ . Оказалось, что $A D = A C$ . Найдите величину угла при вершине $B$ .

Рисунок к задаче

№7 · МЕДИАНА

3 БАЛЛА

7. Взаимосвязь элементов треугольника

В треугольнике $A B C$ медиана $B M$ пересекается с биссектрисой $A D$ под прямым углом. Найдите длину стороны $A B$ , если известно, что длина стороны $A C$ составляет $16$ см.

8 см
16 см
4 см
32 см

№8 · ТЕСТ

1 БАЛЛ

8. Анализ существования треугольника

Дан равнобедренный треугольник с периметром $20$ см, одна из сторон которого равна $8$ см. Проанализируйте все возможные конфигурации и выберите верное утверждение.

Условию удовлетворяют два различных треугольника: один с боковой стороной $6$ см, другой — с боковой стороной $8$ см.
Существует только один такой треугольник со сторонами $6, 6$ и $8$ см, так как при боковой стороне $8$ см нарушается неравенство треугольника.
Такого треугольника не существует, так как любая боковая сторона должна быть строго больше половины периметра.
Существует только один такой треугольник со сторонами $8, 8$ и $4$ см, так как основание равнобедренного треугольника не может быть больше его боковой стороны.

№9 · ПРОПУСКИ

2 ПРОПУСКА · 3 БАЛЛА

9. Свойства углов и биссектрис

На основе данных о биссектрисе и внешнем угле определите величины углов треугольника.

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ проведена биссектриса $A D$ . Если $∠ A D B = 10 5^{\circ}$ , то $∠ B =$ , а угол при основании $∠ B A C =$ .

№10 · РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

3 БАЛЛА

10. Биссектриса и углы

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ проведена биссектриса $A D$ . Оказалось, что длина этой биссектрисы совпадает с длиной основания треугольника ( $A D = A C$ ). Вычислите градусную меру угла при вершине $B$ .

Рисунок к задаче

№11 · ВЕРНО/НЕВЕРНО

5 УТВЕРЖДЕНИЙ · 2 БАЛЛА

11. Логика и свойства треугольников

Проанализируйте каждое утверждение. Помните о разнице между «существует» и «любой», а также о строгих условиях неравенства треугольника.

Существует треугольник, внешний угол которого меньше одного из внутренних углов, не смежных с ним.
В равнобедренном треугольнике угол между основанием и прямой, содержащей высоту к боковой стороне, всегда равен половине угла при вершине.
Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники обязательно равны.
Для любого треугольника сумма двух любых его внешних углов всегда строго больше $18 0^{\circ}$ .
Существует треугольник, длины сторон которого относятся как $3 : 4 : 7$ .

+10 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№12 · ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

12. Биссектриса и высота

В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$ проведены высота $C H$ , опущенная на гипотенузу, и биссектриса $B K$ . Известно, что при пересечении высоты и биссектрисы образуется тупой угол, равный $11 0^{\circ}$ . Найдите градусные меры острых углов треугольника $A B C$ .

№13 · СЛОЖНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

2 БАЛЛА

13. Логические свойства треугольников

Установите соответствие между условием задачи и следствием, которое из него вытекает, используя свойства углов и сторон.

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен $12 0^{\circ}$ .
Угол между биссектрисами двух внутренних углов треугольника равен $11 0^{\circ}$ .
Стороны треугольника имеют длины $x$ , $x + 3$ и $10$ единиц.
В $△ A B C$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , а внешние углы при вершинах $A$ и $B$ относятся как $2 : 3$ .

Третий угол исходного треугольника равен $4 0^{\circ}$ .
Значение переменной $x$ обязательно больше $3, 5$ .
Острые углы треугольника равны $1 8^{\circ}$ и $7 2^{\circ}$ .
Треугольник является равносторонним.

№14 · МЕДИАНА

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

14. Медиана и биссектриса

В треугольнике $A B C$ проведены медиана $A M$ и биссектриса $B K$ . Оказалось, что они перпендикулярны друг другу. Найдите длину стороны $A B$ , если известно, что сторона $B C$ равна $12$ см. Обоснуйте свой ответ.

№15 · ТАБЛИЦА

3 БАЛЛА · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

15. Соотношения между углами треугольника

Вычислите градусные меры внутренних и внешних углов треугольника, используя данные о зависимостях между ними.

Условие задачи	$∠ γ$	Внешний $∠$ при $γ$
Равнобедренный ( $∠ α$ — при вершине), внешний угол при $β$ равен $13 0^{\circ}$		$13 0^{\circ}$
Прямоугольный ( $∠ γ = 9 0^{\circ}$ ), $∠ α$ на $2 0^{\circ}$ больше $∠ β$	$9 0^{\circ}$
Внешний угол при $α$ равен $12 0^{\circ}$ , $∠ β$ в 2 раза больше $∠ γ$

№16 · НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

3 БАЛЛА

16. Анализ сторон треугольника

Периметр равнобедренного треугольника равен $36$ см. Известно, что одна из его сторон в $4$ раза больше другой стороны. Найдите длины всех сторон этого треугольника и обоснуйте существование полученной фигуры.

№17 · ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

3 БАЛЛА

17. Связь высоты и гипотенузы

В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$ проведена высота $C H$ . Известно, что $∠ B = 7 5^{\circ}$ , а длина высоты $C H$ равна $5$ см. Найдите длину гипотенузы $A B$ .

Вспомогательное построение: медиана $C M$

№18 · ПРОПУСКИ

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

18. Углы в треугольнике с биссектрисой

Рассмотрите треугольник $A B C$ , в котором проведена биссектриса $A D$ . Известно, что $A C = A D = D B$ . Вычислите градусную меру угла $C$ .

Используя свойства равнобедренных треугольников $A D C$ и $A D B$ , а также свойство биссектрисы, можно установить, что угол $C$ равен градусов.

№19 · РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

3 БАЛЛА · СЛОЖНОЕ

19. Двойная симметрия углов

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с углом при вершине $∠ B = 3 6^{\circ}$ проведена биссектриса $A D$ к боковой стороне $B C$ . На отрезке $A D$ отмечена точка $K$ такая, что $C K = C D$ . Вычислите градусную меру угла $K C A$ .

№20 · ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

3 БАЛЛА

20. Свойство биссектрисы и острые углы

В прямоугольном треугольнике $A B C$ (угол $C = 9 0^{\circ}$ ) проведена биссектриса $A D$ . Известно, что отрезок $B D$ в два раза длиннее отрезка $C D$ . Найдите величины острых углов треугольника $A B C$ .

Рисунок к задаче

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Реши задачуМножественный выборЗаполни пропускиИстина / ЛожьСоединениеТаблица

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 7 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе; Равнобедренные и равносторонние треугольники; Признаки и свойства равнобедренного треугольника; Прямоугольный треугольник с»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 20 заданий: реши задачу, множественный выбор, заполни пропуски, истина / Ложь, соединение, таблица.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 7 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Треугольники

Типы заданий

1. Высота и медиана

2. Биссектриса и углы

3. Метод удвоения медианы

4. Периметр и неравенство треугольника

5. Свойство биссектрисы и угла 60°

6. Биссектриса и равенство сторон

7. Взаимосвязь элементов треугольника

8. Анализ существования треугольника

9. Свойства углов и биссектрис

10. Биссектриса и углы

11. Логика и свойства треугольников

12. Биссектриса и высота

13. Логические свойства треугольников

14. Медиана и биссектриса

15. Соотношения между углами треугольника

16. Анализ сторон треугольника

17. Связь высоты и гипотенузы

18. Углы в треугольнике с биссектрисой

19. Двойная симметрия углов

20. Свойство биссектрисы и острые углы

Похожие рабочие листы

Задачи по признакам равенства треугольников

Введение в треугольники. Сумма углов треугольника.

Смежные углы

Другие темы по геометрии для 7 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы