Равенство прямоугольных треугольников

2 ШАГА · 3 БАЛЛА

7. Точка на биссектрисе угла

Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $AOB$. Из точки $M$ проведены перпендикуляры $MK$ и $MP$ к сторонам угла. Докажите, что $MK=MP$. Найдите $MK$, если $MP=4,5$ см.

ПРОПУСКИ · 4 БАЛЛА

8. Высоты к боковым сторонам

Заполните пропуски в доказательстве того, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Пусть в равнобедренном $△ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AM\perp BC$ и $CK\perp AB$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABM$ и $CBK$. У них гипотенузы $AB$ и $BC$ , а угол $B$ — . Следовательно, $△ABM=△CBK$ по и . Из равенства треугольников вытекает, что $AM=CK$.

3 ШАГА · 5 БАЛЛОВ

9. Биссектриса и катет

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) проведена биссектриса $AK$. Расстояние от точки $K$ до гипотенузы $AB$ равно $5$ см, а отрезок $BK=13$ см. Найдите длину катета $BC$.

ПРОПУСКИ · 5 БАЛЛОВ

10. Равенство в квадрате

Заполните логические пропуски в доказательстве перпендикулярности отрезков в квадрате через равенство треугольников.

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Треугольники $ABM$ и $BCN$ равны по . В них катеты $AB=BC$ как стороны квадрата, а катеты $BM=CN$ как сторон. Из равенства треугольников следует, что $\angle BAM=\angle \underline{}$. Так как $\angle BAM+\angle AMB=90^{\circ }$, то и $\angle CBN+\angle AMB=90^{\circ }$, значит отрезки $AM$ и $BN$ .