Действительные числа

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

1. Свойства иррациональных выражений

Рассмотрим число $X=\sqrt{5}+\sqrt{13}$. Проанализируйте его положение на числовой прямой и свойства его квадрата. Какое из следующих утверждений является истинным?

• Число $X$ является рациональным, так как по правилу сложения корней $\sqrt{5}+\sqrt{13}=\sqrt{18}$.
• Число $X$ иррационально, при этом $5<X<6$, а значение $X^2$ также является иррациональным числом.
• Число $X$ иррационально, однако его квадрат $X^2=5+13=18$ является рациональным числом.
• Число $X$ можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как $\sqrt{5}$ и $\sqrt{13}$ извлекаются точно.

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Рациональные и иррациональные числа

Представьте, что вы распределяете числа по разным группам. Выберите верное утверждение о числе $\sqrt{3}$.

• Это число является рациональным, так как его можно точно представить в виде десятичной дроби $1,73$.
• Это число является иррациональным, так как оно представляется в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
• Это число является рациональным, так как его можно записать в виде периодической дроби $1,(73)$.
• Это натуральное число, так как оно стоит под знаком корня.

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

3. Анализ иррационального выражения

Дано число $Y=(4-\sqrt{3}{)}^2$. Выполните возведение в квадрат и оцените полученный результат. Какое из следующих утверждений об этом числе является верным?

• Число $Y$ рационально, так как оно равно $4^2-(\sqrt{3}{)}^2=13$.
• Число $Y$ иррационально, оно представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь и находится в интервале $(5;6)$.
• Число $Y$ иррационально, при этом его значение больше 10, так как результат вычисления равен $19+8\sqrt{3}$.
• Число $Y$ является целым числом, так как корень исчезает при возведении в квадрат суммы.

2 БАЛЛА

4. Поиск точки на прямой

На координатной прямой отмечена точка $B$. Какому из предложенных чисел она соответствует?

2 БАЛЛА

5. Представление в виде десятичной дроби

Запишите обыкновенные дроби в виде бесконечных десятичных периодических дробей.

$\frac{4}{9}=$ и $\frac{5}{6}=$

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

6. Вычисления с радикалами

Найдите значения выражений. Ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

2 БАЛЛА

7. Сравнение действительных чисел

Сопоставьте пары чисел с верным знаком сравнения.

3 БАЛЛА

8. Округление и точность приближения

Заполните таблицу, округляя иррациональное число $\sqrt{11}\approx 3,\mathrm{316624...}$ до указанных разрядов.

2 БАЛЛА

9. Пицца-вечеринка

Компания друзей хочет заказать 3 большие пиццы. Цена одной пиццы составляет $\sqrt{14500}$ рублей. У ребят есть в наличии $400$ рублей. Хватит ли им денег на этот заказ?

• Да, так как $\sqrt{14500}\approx 120,4$, и 3 пиццы стоят примерно 361 рубль.
• Нет, так как $\sqrt{14500}>150$, и 3 пиццы стоят больше 450 рублей.
• Да, так как $\sqrt{14500}$ точно равно $133,3$, и 3 пиццы стоят ровно 400 рублей.

1 БАЛЛ

10. Верно или неверно?

Оцените истинность утверждений о множествах чисел.

1. Любое иррациональное число является действительным.ИстинаЛожь
2. Сумма двух иррациональных чисел всегда является иррациональным числом.ИстинаЛожь
3. Любая бесконечная десятичная дробь является иррациональным числом.ИстинаЛожь

3 БАЛЛА

11. Оценка периметра фигуры

Известно, что сторона квадрата $a=\sqrt{27}$ см. Оцените периметр этого квадрата $P$, если известно, что $5,19<\sqrt{27}<5,20$. Запишите границы оценки в ответ.

3 БАЛЛА

12. Точность без границ

Представьте, что в мире запретили использовать приближённые вычисления, и все чеки в магазинах должны содержать бесконечные десятичные дроби. Напишите 3-5 предложений о том, как это повлияло бы на работу кассиров или банковские переводы.

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

1. Свойства иррациональных выражений

Рассмотрим число $X=\sqrt{6}+\sqrt{10}$. Проанализируйте его положение на числовой прямой и свойства его квадрата. Какое из следующих утверждений является истинным?

• Число $X$ является рациональным, так как по правилу сложения корней $\sqrt{6}+\sqrt{10}=\sqrt{16}=4$.
• Число $X$ иррационально, при этом $5<X<6$, а значение $X^2$ также является иррациональным числом.
• Число $X$ иррационально, однако его квадрат $X^2=6+10=16$ является рациональным числом.
• Число $X$ можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как оно соответствует определённой точке на координатной прямой.

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Рациональные и иррациональные числа

Представьте, что вы распределяете числа по разным группам. Выберите верное утверждение о числе $\sqrt{3}$.

• Это число является рациональным, так как его можно точно представить в виде конечной десятичной дроби $1,75$.
• Это число является иррациональным, так как оно представляется в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
• Это число является рациональным, так как его можно записать в виде периодической дроби.
• Это целое число, так как подкоренное выражение 3 является целым числом.

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

3. Анализ иррационального выражения

Дано число $Y=(2+\sqrt{3}{)}^2$. Выполните возведение в квадрат и оцените полученный результат. Какое из следующих утверждений об этом числе является верным?

• Число $Y$ рационально, так как по формуле суммы квадратов оно равно $2^2+(\sqrt{3}{)}^2=7$.
• Число $Y$ иррационально, оно представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь и находится в интервале $(13;14)$.
• Число $Y$ иррационально, при этом его значение больше 20, так как результат вычисления равен $15+4\sqrt{3}$.
• Число $Y$ является конечной десятичной дроби, так как корень извлекается полностью после возведения в квадрат.

2 БАЛЛА

4. Поиск точки на прямой

На координатной прямой отмечена точка $A$. Какому из предложенных чисел она соответствует?

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

6. Вычисления с радикалами

Найдите значения выражений. Ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

2 БАЛЛА

7. Сравнение действительных чисел

Сопоставьте пары чисел с верным знаком сравнения.

3 БАЛЛА

8. Округление и точность приближения

Заполните таблицу, округляя иррациональное число $\sqrt{11}\approx 3,\mathrm{316624...}$ до указанных разрядов.

2 БАЛЛА

9. Детектив в книжном

Покупатель хочет купить 3 книги из серии «Золотая классика». Цена одной книги составляет $\sqrt{8200}$ рублей. У покупателя есть купюра в $300$ рублей. Хватит ли ему денег на покупку (без учёта скидок)?

• Да, так как $\sqrt{8200}<100$, и 3 книги стоят меньше 300 рублей.
• Нет, так как $\sqrt{8200}>100$, и 3 книги стоят больше 300 рублей.
• Да, так как $\sqrt{8200}$ примерно равно $90$, и 3 книги стоят ровно 270 рублей.

1 БАЛЛ

10. Верно или неверно?

Оцените истинность утверждений о множествах чисел.

1. Любое натуральное число является рациональным.ИстинаЛожь
2. Сумма двух иррациональных чисел всегда является иррациональным числом.ИстинаЛожь
3. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.ИстинаЛожь

3 БАЛЛА

11. Оценка периметра фигуры

Известно, что сторона равностороннего треугольника $a=\sqrt{20}$ см. Оцените периметр этого треугольника $P$, если известно, что $4,47<\sqrt{20}<4,48$. Запишите границы оценки в ответ.

3 БАЛЛА

12. Числа вокруг нас

Представьте мир, в котором исчезли все иррациональные числа. Как бы изменились привычные нам вещи? Например, какими бы стали колеса велосипедов или как бы мы измеряли диагональ квадратного окна? Напишите 3-5 предложений со своими рассуждениями.