Биквадратные уравнения

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

1. Замена переменной

Артём начинает с замены переменной. Заполните пропуски в записи для уравнения $x^4-5x^2+4=0$.

Пусть $t=x^2$. Тогда уравнение принимает вид $t^2-5t+4=0$. Его корни: $t_1=\underline{}$, $t_2=\underline{}$.

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Корни биквадратного уравнения

На следующем участке маршрута Артём решает уравнение $x^4-5x^2+4=0$. Найдите все его действительные корни и запишите их по возрастанию через запятую.

2 УРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

3. Подстановка и обратная замена

Артём проверяет маршрут на двух уравнениях. Решите каждое уравнение в действительных числах: $x^4-13x^2+36=0$; $x^4-10x^2+9=0$.

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

4. Допустимые значения замены

У дорожного указателя Артёму нужно выбрать правильное утверждение. Для уравнения $x^4-7x^2+12=0$ сделана замена $t=x^2$. Какие значения может принимать $t$?

• Только неотрицательные действительные значения
• Любые действительные значения, в том числе отрицательные
• Только положительные действительные значения, ноль невозможен
• Только целые неотрицательные значения

4 ШАГА · 1 БАЛЛ

5. Порядок решения биквадратного уравнения

Артём записал этапы решения уравнения $x^4-5x^2+4=0$ на отдельных карточках. Расположите карточки в правильном порядке.

1. Обозначить $t=x^2$ и получить квадратное уравнение $t^2-5t+4=0$.
2. Вернуться к замене $t=x^2$ и найти соответствующие значения $x$.
3. Решить квадратное уравнение и получить $t=1$ или $t=4$.
4. Проверить, какие найденные значения $t$ дают действительные значения $x$.

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

6. Отбор действительных корней

Артёму нужно пройти участок, где важно учесть, что $t=x^2$. Решите уравнение $x^4-2x^2-8=0$ и запишите все действительные корни по возрастанию через запятую.

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

7. Проверка значений после замены

На станции проверки Артём использует замену $t=x^2$. Заполните пропуски: для уравнения $x^4-2x^2-8=0$ квадратное уравнение относительно $t$ имеет вид $t^2-2t-8=0$, а его корни равны и.

Для корней квадратного уравнения $t^2-2t-8=0$: $t_1=\underline{}$, $t_2=\underline{}$.

2 УРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

8. Уравнения с разными коэффициентами

На финишной прямой Артём решает ещё две задачи. Найдите все действительные корни каждого уравнения: $2x^4-5x^2+2=0$; $x^4-6x^2+8=0$.

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

9. Проверка корней уравнения

На контрольном пункте Артём проверяет уравнение $x^4-6x^2+8=0$. Какой набор содержит все его действительные корни?

• $-2,-\sqrt{2},\sqrt{2},2$
• $-2,\sqrt{2},2$
• $-\sqrt{2},\sqrt{2}$
• $-2,-1,1,2$

4 ШАГА · 1 БАЛЛ

10. Решение уравнения с заменой

Артём собирает последовательность решения уравнения $2x^4-5x^2+2=0$. Расставьте шаги в правильном порядке.

1. Ввести замену $t=x^2$ и записать $2t^2-5t+2=0$.
2. Убедиться, что оба значения $t$ неотрицательны и подходят для $t=x^2$.
3. По найденным значениям $t$ восстановить действительные значения $x$.
4. Решить квадратное уравнение: $t=2$ или $t=\frac{1}{2}$.