Комплексные числа, определители и матрицы

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

1. Алгебраическая форма комплексного числа

Заполните пропуски в определении алгебраической формы комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид $z=\underline{}+\underline{}i$, где $i^2=-1$.

4 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

2. Формы записи комплексного числа

Соедините каждую форму записи комплексного числа с её обозначением или характеристикой.

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

3. Главное свойство определителя

Выберите верное утверждение об определителе квадратной матрицы.

• Определитель матрицы всегда равен сумме всех её элементов.
• Определитель существует только у квадратной матрицы.
• Определитель можно вычислить у любой прямоугольной матрицы.
• Определитель матрицы всегда положителен.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

4. Тригонометрическая форма и модуль

Заполните пропуски в записи комплексного числа и найдите его модуль.

Для числа $z=3+4i$ модуль равен $|z|=\underline{}$, поэтому его тригонометрическая форма имеет вид $z=5(\cos \underline{}+i\sin \underline{})$.

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

5. Свойства определителя

Соедините каждое действие над строками матрицы с изменением её определителя.

1 ВОПРОС · 2 БАЛЛА

6. Действия над матрицами

Даны матрицы $A$ размера $2\times 3$ и $B$ размера $3\times 4$. Каков размер произведения $AB$?

• Произведение не существует
• $2\times 4$
• $3\times 3$
• $3\times 4$

3 ПРОПУСКА · 3 БАЛЛА

7. Формула Муавра и корни комплексного числа

Заполните пропуски в формуле Муавра и условии для корней комплексного числа.

Формула Муавра имеет вид $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\underline{}$. Корни уравнения $z^n=r{e}^{i\phi }$ имеют модуль $\underline{}$ и аргументы $\underline{}$.

4 ПАРЫ · 3 БАЛЛА

8. Виды матриц и их признаки

Соедините вид матрицы с его определяющим признаком.

1 ВОПРОС · 3 БАЛЛА

9. Связь определителя и обратной матрицы

Выберите верное утверждение о существовании обратной матрицы $A^{-1}$.

• Обратная матрица существует только при $\det A=0$.
• Обратная матрица существует только для диагональной матрицы.
• Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда $\det A\ne 0$.
• Обратная матрица существует для любой квадратной матрицы.

4 ПРОПУСКА · 3 БАЛЛА

10. Комплексное сопряжение и операции

Заполните пропуски в свойствах комплексно сопряжённых чисел.

Если $z=a+bi$, то сопряжённое число имеет вид $\overline{z}=\underline{}$. Для сопряжённых чисел выполняются равенства $\overline{z+w}=\underline{}$, $\overline{zw}=\underline{}$ и $z\overline{z}=\underline{}$.

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Мнимая единица

Выберите верное утверждение о мнимой единице.

• $i^2=0$
• $i^2=-1$
• $i^2=1$

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

2. Алгебраическая форма

Как записывается комплексное число в алгебраической форме?

• $z=a+bi$, где $a,b$ — действительные числа
• $z=a+b+i^2$
• $z=a-b{i}^2$ только при $a=b$
• $z=ab+i$