Применение производной для определения точек экстремума

1 БАЛЛ

1. Связь производной и монотонности

Выберите верное утверждение о связи поведения функции и знака её производной на интервале.

• Если $f^{\prime }(x)>0$ на интервале, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.
• Если $f^{\prime }(x)<0$ на интервале, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.
• Если функция $f(x)$ убывает на интервале, то её производная всегда положительна.
• Если производная в точке равна нулю, то функция в этой точке обязательно возрастает.

1 БАЛЛ

2. Критические точки и точки экстремума

Определите истинность утверждений о критических точках функции.

1. Любая точка экстремума функции является её критической точкой.ИстинаЛожь
2. Любая критическая точка функции обязательно является точкой экстремума.ИстинаЛожь
3. Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.ИстинаЛожь
4. Если в критической точке производная не меняет знак, то экстремума в ней нет.ИстинаЛожь

2 БАЛЛА

3. Достаточное условие экстремума

Заполните пропуски в формулировке теоремы о смене знака производной.

Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная меняет знак с «плюса» на «минус», то $x_0$ является точкой . Если же производная меняет знак с «минуса» на «плюса», то $x_0$ — это точка .

2 БАЛЛА

4. Анализ производной по графику

На рисунке изображен график производной $y=f^{\prime }(x)$ функции $f(x)$, определенной на интервале $(-1;5)$. Используя график, найдите точку максимума функции $f(x)$.

2 БАЛЛА

5. Экстремумы многочлена

Найдите точки максимума и минимума функции $f(x)=x^3-3x^2-9x+10$. Запишите ход решения.