Применение производной в прикладных задачах

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

2. Скорость изменения функции

Функция задана формулой $f(x)=x^2$. Найдите значение производной $f^{\prime }(3)$.

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

3. Угловой коэффициент касательной

К графику функции $y=x^2$ проведена касательная в точке с абсциссой $x=2$. Чему равен угловой коэффициент этой касательной?

• $2$
• $4$
• $6$
• $8$

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Минимальная стоимость перевозки

Стоимость перевозки партии груза массой $x$ тонн задаётся формулой $C(x)=x^2-10x+40$, где $0\le x\le 10$. Найдите значение $x$, при котором стоимость минимальна.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

5. Алгоритм поиска максимума

Заполните пропуски в последовательности исследования функции на экстремум.

1) Найти производную $f^{\prime }(x)$. 2) Решить уравнение $f^{\prime }(x)=\underline{}$. 3) Определить знаки производной слева и справа от . 4) Сделать вывод о наличии .

4 СВЯЗИ · 2 БАЛЛА

6. Производная и поведение функции

Соотнесите условие на производную с поведением функции на промежутке.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Проверяем способ решения

Определите истинность утверждений о нахождении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке. Оценивайте только математическую правильность утверждений.

1. Нужно проверить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку.ИстинаЛожь
2. Достаточно найти только значения функции на концах отрезка.ИстинаЛожь
3. Критические точки, не принадлежащие отрезку, не включают в сравнение.ИстинаЛожь
4. После сравнения всех найденных значений можно определить наибольшее и наименьшее значения.ИстинаЛожь

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Максимальная площадь ограждения

Для прямоугольного участка используют $40$ м ограждения, причём одна сторона участка примыкает к стене и ограждение для неё не требуется. Найдите размеры участка наибольшей площади и эту площадь.

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

9. Цилиндр с минимальной площадью поверхности

Из листа металла изготавливают закрытый цилиндр объёма $54\pi {\text{см}}^3$. Найдите радиус цилиндра, при котором площадь его полной поверхности минимальна. Используйте связь $V=\pi r^{2}h$.

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

10. Оптимальный момент остановки

Количество вещества в реакции меняется по закону $q(t)=t^3-6t^2+9t+12$, где $0\le t\le 5$ минут. В какой момент скорость изменения количества вещества минимальна? Найдите также минимальную скорость изменения.