Метод простой итерации

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Первое приближение

Вычислите одно приближение по формуле $x_{n+1}=\phi (x_n)$, если $x_0=4$ и $\phi (x)=\frac{x+5}{3}$.

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Подстановка начального приближения

Вычислите $x_1$ по формуле $x_{n+1}=\phi (x_n)$, если $x_0=5$ и $\phi (x)=\frac{x+7}{2}$.

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

3. Производная итерационной функции

Выберите условие, которое обычно используют для проверки сходимости метода простой итерации на отрезке.

• $\phi (x)$ должна быть положительной на всём отрезке
• $|{\phi }^{\prime }(x)|>1$ на всём отрезке
• ${\phi }^{\prime }(x)=1$ в каждой точке отрезка
• $|{\phi }^{\prime }(x)|\le q<1$ на всём отрезке

1 УРАВНЕНИЕ · 1 БАЛЛ

4. Уравнение неподвижной точки

Запишите уравнение неподвижной точки для итерационной функции $\phi (x)=\frac{2x+5}{4}$.

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

5. Линейная итерация

Вычислите $x_1$, если $x_0=2$ и $x_{n+1}=\frac{1}{3}{x}_n+4$.

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

6. Коэффициент сжатия

Укажите коэффициент сжатия для итерации $x_{n+1}=-0,35x_n+6$.

1 ВЫБОР · 1 БАЛЛ

7. Связь корня и неподвижной точки

Какое равенство должен выполнять корень исходного уравнения после перехода к методу простой итерации?

• $x\phi (x)=1$
• $x=\phi (x)$
• $x-\phi (x)=1$ для любого корня
• $x+\phi (x)=0$

2 ИТЕРАЦИИ · 2 БАЛЛА

8. Последовательные приближения

Для $x_{n+1}=\frac{x_n+6}{3}$ найдите $x_1$ и $x_2$, если $x_0=0$.

2 ИТЕРАЦИИ · 2 БАЛЛА

9. Итерации с дробным коэффициентом

Выполните две итерации для $x_{n+1}=\frac{3}{4}{x}_n+2$, начиная с $x_0=0$. Найдите $x_1$ и $x_2$.

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

10. Заполнение последовательности

Заполните пропуски в последовательности приближений по заданной формуле.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

11. Истина или ошибка в рассуждении

Определите истинность утверждений о методе простой итерации. Основание проверки: математические свойства метода и условие сходимости.

1. Если $|{\phi }^{\prime }(x)|\le q<1$ на отрезке, это является достаточным условием сходимости.ИстинаЛожь
2. Условие $|{\phi }^{\prime }(x)|<1$ гарантирует расходимость итераций.ИстинаЛожь
3. Корень уравнения соответствует неподвижной точке функции $\phi$.ИстинаЛожь
4. Любое начальное приближение даёт одинаковую последовательность итераций.ИстинаЛожь

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

12. Функция и коэффициент сжатия

Соотнесите итерационную функцию с модулем её производной.

3 СРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

13. Сравнение скорости сжатия

Сравните модули коэффициентов при $x$ и поставьте нужный знак. Меньший модуль соответствует более сильному линейному сжатию.

5 ШАГОВ · 2 БАЛЛА

14. Алгоритм простой итерации

Расположите этапы применения метода простой итерации в правильном порядке.

1. Проверить разность соседних приближений
2. Оценить условие сходимости
3. Прекратить вычисления при достижении точности
4. Вычислить очередное приближение $x_{n+1}=\phi (x_n)$
5. Выбрать начальное приближение $x_0$

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

15. Преобразование уравнения для сходимости

Для уравнения $x^2-5=0$ рассмотрите итерации $x_{n+1}=\phi (x_n)$. Какая из функций даёт сжимающее отображение в окрестности положительного корня?

• $\phi (x)=\frac{x^2+5}{2x}$
• $\phi (x)=\frac{x+5}{2}$
• $\phi (x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{5}{x}\right)$
• $\phi (x)=\frac{5}{x}$

2 ШАГА · 3 БАЛЛА

16. Апостериорная оценка

Для сжимающей итерации с коэффициентом $q=0,2$ получено $|x_4-x_3|=0,03$. Оцените погрешность $|x^{\ast }-x_4|$ по формуле $\frac{q}{1-q}|x_4-x_3|$.

4 ВАРИАНТА · 3 БАЛЛА

17. Причина расходимости

Итерации задаются формулой $x_{n+1}=-1,3x_n+4$. Выберите наиболее вероятную причину отсутствия гарантии сходимости по критерию сжатия.

• Начальное приближение обязательно должно быть положительным.
• Линейные функции нельзя использовать в методе простой итерации.
• В формуле есть свободный член $4$.
• Модуль производной равен $1,3$, то есть больше единицы.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

18. Выбор более быстрой итерации

Для одной и той же задачи доступны две сжимающие итерации: первая имеет $q_1=0,75$, вторая — $q_2=0,25$. Какая итерация при одинаковом начальном приближении обычно сходится быстрее и во сколько раз меньше становится оценка ошибки после каждого шага?

4 ШАГА · 3 БАЛЛА

19. Исправление неверной итерации

Ученик преобразовал уравнение $x^2-9=0$ к итерации $x_{n+1}=x_n^2-9$ и утверждает, что она сходится к положительному корню при $x_0=3$. Найдите ошибку в рассуждении и предложите итерацию $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{9}{x_n}\right)$, после чего вычислите $x_1$ при $x_0=4$.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

20. Метод с заданной точностью

Для уравнения $x^2-3=0$ используется итерация $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{3}{x_n}\right)$ с $x_0=1,6$. Выполните две итерации и определите, достаточно ли условия $|x_2-x_1|<0,01$ для остановки вычислений.