Дробно рациональные уравнения с параметром

1 БАЛЛ

1. Условие существования корня

Выберите математически верную формулировку условия, при котором число $x_0$ признается корнем уравнения $\frac{f(x,a)}{g(x,a)}=0$.

• Система условий: $f(x_0,a)=0$ и $g(x_0,a)\ne 0$.
• Достаточно условия $f(x_0,a)=0$, так как числитель определяет корень.
• Уравнение имеет корень, если $f(x_0,a)=0$ или $g(x_0,a)=0$.
• Значение $x_0$ является корнем, если дробь можно сократить на $(x-x_0)$.

2 МАРКЕРА · 1 БАЛЛ

2. Этапы решения задачи

Заполните пропуски в описании процесса исследования уравнения.

В дробно-рациональных уравнениях с параметром корни числителя могут не входить в итоговый ответ, если при них обращается в ноль. Такие ситуации возникают при значениях параметра, которые необходимо находить отдельно, приравнивая корни числителя к корням знаменателя.

ТАБЛИЦА · 3 БАЛЛА

3. Критический анализ корней с параметром

Проанализируйте уравнение $\frac{a{x}^2-(3a+1)x+3}{x-a}=0$. Заполните таблицу, исследуя поведение корней при различных значениях параметра $a$.

5 БАЛЛОВ · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

4. Исследование количества корней

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\frac{(x-a)(ax-3a-4)}{x^2-5x+6}=0$ имеет ровно один действительный корень. В ответе укажите сумму всех найденных целых значений параметра $a$.

4 БАЛЛА

5. Единственность решения

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\frac{x^2-(2a+4)x+a^2+4a}{x^2-6x+8}=0$ имеет ровно один корень.

1 БАЛЛ

1. Условие отсутствия корней

Выберите условие, при котором дробно-рациональное уравнение $\frac{P(x,a)}{Q(x,a)}=0$ не имеет действительных решений.

• Любое решение уравнения $P(x,a)=0$ является корнем уравнения $Q(x,a)=0$ или $P(x,a)=0$ не имеет решений.
• Уравнение $Q(x,a)=0$ имеет хотя бы один корень при данном значении параметра $a$.
• Степень многочлена $P$ меньше степени многочлена $Q$.
• Дискриминант многочлена $P(x,a)$ отрицателен при любых значениях параметра.

2 МАРКЕРА · 1 БАЛЛ

2. Логика проверки решений

Заполните пропуски, описывающие проверку корней уравнения.

При решении уравнений с параметром мы приравниваем числитель к . Полученные значения переменной необходимо проверить на соответствие , чтобы исключить деление на ноль.