Разложение многочлена на множители вынесением общего множителя
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться раскладывать многочлены на множители способом вынесения общего множителя за скобки и проверять результат обратным раскрытием скобок.
- Вывести и сформулировать алгоритм вынесения общего множителя за скобки на основе распределительного свойства умножения.
- Научиться находить наибольший общий числовой и буквенный множитель всех членов многочлена и применять алгоритм к выражениям разной сложности.
- Развивать умение анализировать выражение, объяснять последовательность преобразований, сравнивать способы решения и обнаруживать ошибки.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за результат совместной работы и готовность аргументированно отстаивать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность преобразований выражений для решения математических и прикладных задач.
- Проявляют познавательный интерес к поиску более короткой и удобной записи многочлена.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу, принимают право одноклассника на иной способ рассуждения.
- Формируют установку на проверку результата и аккуратное оформление математической записи.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки членов многочлена, устанавливают общий множитель и строят последовательность преобразований.
- Используют смысловое чтение математической записи, извлекают информацию из образца и переносят алгоритм на новое выражение.
- Формулируют вопросы, объясняют решение партнёру, аргументируют выбор общего множителя.
- Планируют выполнение задания, сверяют результат с эталоном, находят и исправляют ошибку.
Предметные
- Знают связь вынесения общего множителя за скобки с распределительным свойством умножения.
- Умеют находить общий множитель всех членов многочлена, включая числовой коэффициент и буквенную часть.
- Умеют представлять многочлен в виде произведения множителя и многочлена в скобках.
- Владеют проверкой разложения раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться преобразовывать выражения без потери значения.
- Осознают смысл проверки как способа контроля качества собственной работы.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания.
- Сохраняют уважительное отношение к мнению партнёра при обсуждении решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после обнаружения затруднения в преобразовании многочлена.
- Планируют действия: найти общий множитель, разделить на него каждый член, записать произведение, выполнить проверку.
- Сверяют решение с алгоритмом и эталоном, фиксируют место ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Анализируют состав многочлена и сравнивают его члены по числовым и буквенным множителям.
- Моделируют преобразование с помощью распределительного свойства умножения.
- Устанавливают причинно-следственную связь между раскрытием скобок и вынесением общего множителя.
- Выбирают рациональный способ проверки и обосновывают его.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: решающий и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о выборе общего множителя.
- Формулируют объяснение решения с использованием математических терминов.
- Согласуют общий ответ группы и корректно указывают на ошибку в рассуждении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с распределительным свойством $a(b+c)=ab+ac$, проблемным выражением $6x^2+9x$ и алгоритмом разложения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке каждого уровня на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить карточки для парной работы с выражениями $8a^2-12a$, $15mn+10m$, $18x^3y-24x^2y^2$ и заданиями на поиск ошибки.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «нахожу общий множитель», «выношу его за скобки», «проверяю раскрытием скобок».
- Вывести на экран или записать на доске памятку: 1) найти общий множитель; 2) разделить каждый член на него; 3) записать множитель перед скобками; 4) проверить.
- Распечатать по одному мини-листу «Билет на выход» на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или мел: одним цветом выделять общий множитель, другим — множители, оставшиеся в скобках.
- Организовать на доске три зоны: «Общий множитель», «Многочлен в скобках», «Проверка».
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл компактной записи многочлена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение видеть общую структуру выражения. Посмотрите на доску: длинную запись иногда можно заменить более короткой, но полностью равной ей." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает выражение $6x^2+9x$ и говорит: "Представьте, что это формула расчёта, которую нужно использовать несколько раз. Можно ли записать её короче? Какое число или буквенный множитель встречается в каждом слагаемом? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и предложите вариант." Используется приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально выделяют общие части, обсуждают в паре и предлагают ответы: "Общий множитель — $3x$"; формулируют предположение: "$6x^2+9x=3x(2x+3)$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одинаковую часть нескольких слагаемых можно вынести за скобки и сделать запись короче. Сейчас проверим, почему это преобразование верно и как выполнять его без ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить распределительное свойство умножения и навыки приведения одночленов к стандартному виду.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $a(b+c)=ab+ac$, $5(2x-3)=?$, $7m+4m=?$ и обращается к классу: "Вспомните, какое свойство связывает произведение числа на сумму с суммой произведений. Раскройте скобки в первом выражении и объясните, что происходит с множителем $a$." | Отвечают: "Распределительное свойство умножения"; раскрывают скобки: $5(2x-3)=10x-15$; объясняют, что множитель умножается на каждый член суммы. |
2 мин | Учитель предлагает устно определить общие множители в парах: $12a+8a$, $6xy-9x$, $14p^2+21p$. Реплика: "Не выполняйте пока полное разложение. Назовите только общий множитель каждого выражения и объясните, почему он подходит обоим членам." | Называют: "$4a$", "$3x$", "$7p$"; сравнивают числовые коэффициенты и буквенные части. |
1 мин | Учитель просит показать сигнальную карточку: зелёная — общий множитель найден уверенно, жёлтая — требуется пример, красная — есть затруднение. "По сигналам я определю, нужно ли нам ещё раз разобрать поиск общего множителя." | Поднимают карточки, формулируют уточняющие вопросы: "Можно ли вынести только число?», «Что делать с буквой, если степени разные?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Распределительное свойство уже знакомо нам как способ раскрытия скобок. Сегодня мы будем действовать в обратную сторону: по сумме произведений восстановим произведение со скобками."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при выборе общего множителя и совместно сформулировать алгоритм предстоящей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить два выражения: $6x^2+9x$ и $6x^2+9y$. Реплика: "В первом выражении мы предположили общий множитель $3x$. Подойдёт ли он для второго? Обоснуйте ответ, а не просто назовите результат. Что именно нужно проверять у всех членов многочлена?" | Сравнивают выражения и отвечают: "$3x$ не подходит для второго выражения, потому что в $9y$ нет множителя $x$"; формулируют правило: общий множитель должен входить в каждый член. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске затруднение: «Как найти общий множитель и не потерять слагаемое?» Затем спрашивает: "Какую цель поставим на урок? Какие шаги нам понадобятся, чтобы преобразование можно было проверить?" | Формулируют цель: "Научиться раскладывать многочлен на множители вынесением общего множителя"; предлагают шаги: найти общий множитель, разделить на него каждый член, записать скобки, раскрыть скобки для проверки. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы должны не угадать ответ, а построить надёжный алгоритм. Сначала выведем его на простом примере, затем применим к выражениям с числовыми и буквенными общими множителями."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм вынесения общего множителя за скобки через обратное применение распределительного свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает крупно: $6x^2+9x$. "Разложим выражение по шагам. Числа 6 и 9 имеют общий делитель 3. В обоих слагаемых есть буква $x$, поэтому общий множитель — $3x$. Теперь разделим каждый член на $3x$: $6x^2:3x=2x$, $9x:3x=3$. Что останется в скобках?" | Выделяют $3x$ цветом, выполняют деление одночленов, отвечают: "В скобках останется $2x+3$"; записывают $6x^2+9x=3x(2x+3)$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Проверяем результат раскрытием скобок: $3x(2x+3)=6x^2+9x$. Значит, преобразование обратимо. Запомните важную мысль: общий множитель можно вынести только тогда, когда он является множителем каждого слагаемого." На доске появляется алгоритм из четырёх шагов. | Переписывают алгоритм: 1) найти общий множитель всех членов; 2) вынести его за скобки; 3) разделить каждый член на общий множитель и записать результаты в скобках; 4) проверить раскрытием скобок. |
3 мин | Учитель предлагает разобрать пример $15mn+10m$: "Сначала назовите наибольший общий числовой делитель коэффициентов, затем общую буквенную часть. Почему нельзя вынести $m^2$? Запишите разложение и объясните его соседу." | Определяют общий множитель $5m$, получают $15mn+10m=5m(3n+2)$; объясняют, что $m^2$ нельзя вынести, так как в первом и втором членах нет двух множителей $m$; выполняют проверку. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают определение: «Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения одночлена и многочлена или нескольких множителей». Ниже записывают алгоритм: 1) найти общий множитель всех членов; 2) вынести его за скобки; 3) разделить каждый член на общий множитель; 4) проверить раскрытием скобок.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не только два примера, но и общий способ действий. Теперь проверим алгоритм в парной работе: один ученик выполняет преобразование, второй контролирует каждый шаг по памятке."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм с проговариванием действий и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с выражениями $8a^2-12a$, $15mn+10m$, $18x^3y-24x^2y^2$. "В каждой паре распределите роли. Решающий проговаривает шаги, проверяющий отмечает, найден ли общий множитель всех членов и выполнена ли проверка. Через три минуты поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, читают памятку, готовят рабочее место и начинают решение. |
3 мин | Учитель направляет работу вопросами: "Какой общий числовой делитель у 8 и 12? Какая буквенная часть входит в оба члена? Для третьего выражения сравните степени $x$ и $y$. Берите наименьшую степень каждой общей буквы." | Решают: $8a^2-12a=4a(2a-3)$; $15mn+10m=5m(3n+2)$; $18x^3y-24x^2y^2=6x^2y(3x-4y)$. Проверяющие раскрывают скобки. |
2 мин | Учитель предлагает двум парам представить разные решения: "Объясните не только ответ, но и почему выбранный множитель является общим. Если у пары получился другой множитель, сравните его с наибольшим общим множителем." | Представляют решения у доски, называют последовательность действий, исправляют неточность в знаке или степени при необходимости. |
1 мин | Учитель проводит быстрый приём «Светофор»: "Зелёный — могу выполнить сам, жёлтый — иногда ошибаюсь в выборе общего множителя, красный — нужна помощь. Поднимите карточку и назовите один вопрос, который ещё требует внимания." | Показывают карточки, формулируют вопросы: "Как выносить минус?», «Можно ли вынести не наибольший общий множитель?" |
Эталон решения
$18x^3y-24x^2y^2=6x^2y(3x-4y)$. Числовой общий делитель коэффициентов 18 и 24 равен 6. Общая буквенная часть — $x^2y$, поскольку наименьшая степень $x$ равна 2, а наименьшая степень $y$ равна 1. Делим каждый член на $6x^2y$: $18x^3y:6x^2y=3x$, $-24x^2y^2:6x^2y=-4y$. Проверка: $6x^2y(3x-4y)=18x^3y-24x^2y^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы убедились, что надёжность решения определяется не догадкой, а последовательностью: общий множитель, деление каждого члена, скобки, проверка. Теперь каждый выполнит самостоятельную работу и выберет уровень, на котором готов работать."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить школьников самостоятельно находить место ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Базовый обязателен для всех, средний помогает закрепить буквенные множители, продвинутый требует анализа и проверки. Выберите уровень честно, ориентируясь на свой светофор, а не на мнение соседа. Работайте самостоятельно." | Выбирают карточку, записывают выбранный уровень, читают критерии проверки. |
5 мин | Учитель контролирует индивидуальную работу и напоминает: "Не пропускайте промежуточный шаг поиска общего множителя. Для каждого ответа выполните хотя бы мысленную или письменную проверку раскрытием скобок." | Решают задания. Базовый уровень: $14x+21$, $12a^2-8a$, $9m^2+6m$. Средний: $16p^3q-24p^2q^2$, $25xy+15x^2y$. Продвинутый: найдите ошибку в записи $12a^2-18a=6a(2a-3)$ и объясните, как исправить; разложите $20x^3-15x^2+5x$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: $14x+21=7(2x+3)$; $12a^2-8a=4a(3a-2)$; $9m^2+6m=3m(3m+2)$. "Сверяйте не только конечный ответ, но и общий множитель. Ошибку обозначьте условным знаком и исправьте другой ручкой." | Проверяют решения, отмечают совпадения и ошибки, исправляют записи. Для продвинутого задания получают $20x^3-15x^2+5x=5x(4x^2-3x+1)$; объясняют, что первая запись верна при проверке. |
2 мин | Учитель предлагает взаимную консультацию: "Если у вас одна ошибка, сформулируйте её причину: неверно найден общий множитель, ошибка при делении или ошибка знака. Обсудите с соседом только способ исправления, не переписывая его решение." | Называют причину ошибки, объясняют партнёру способ исправления, заполняют лист самооценки по трём критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось связать его с более общим умением преобразовывать выражения и ещё раз проверить, что разложение не меняет значение многочлена."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способ действий, выявить индивидуальные затруднения и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному выражению: "В начале урока мы записали $6x^2+9x$. Теперь объясните полное решение так, будто вы консультируете ученика, пропустившего урок. Какие четыре шага нужно назвать?" | Формулируют алгоритм и отвечают: "$6x^2+9x=3x(2x+3)$; общий множитель найден в обоих членах, затем каждый член разделён на $3x$, результат проверен раскрытием скобок". |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите разложение $10b^2-15b$, назовите общий множитель и ответьте одним предложением: зачем нужна проверка раскрытием скобок?" | Индивидуально выполняют билет: $10b^2-15b=5b(2b-3)$; пишут: "Проверка подтверждает, что преобразованное выражение равно исходному". |
1 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите фразы: «Сегодня я научился…», «Мне ещё нужно потренироваться…», «При проверке я буду обращать внимание на…». Отметьте в листе самооценки зелёный, жёлтый или красный уровень." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат и затруднение. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении записывайте общий множитель и выполняйте проверку хотя бы в двух примерах." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сверяют выбранный уровень с собственной самооценкой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились превращать сумму произведений в произведение с помощью вынесения общего множителя за скобки. Самая частая ошибка — вынести множитель, которого нет в одном из членов, или потерять знак при делении. На следующем уроке мы продолжим разложение многочленов и увидим, как этот приём помогает упрощать выражения и решать уравнения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранного уровня, общий множитель найден для каждого выражения, знаки и степени записаны верно, не менее двух преобразований проверены раскрытием скобок.
- «4» — правильно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но алгоритм и выбор общего множителя в целом освоены.
- «3» — правильно выполнено не менее половины обязательных заданий, общий множитель определяется с помощью памятки, есть ошибки в делении или записи знаков, но ход решения понятен.
- Ниже базового уровня — работа требует доработки: общий множитель не выделен или преобразование не подтверждено проверкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи раскрытия скобок и вынесения общего множителя? | Выявление осознания обратного характера двух преобразований. |
Как вы находили общий множитель в выражении с буквами разных степеней? | Проверка понимания выбора наименьшей степени общей буквы. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня ошиблись или почувствовали затруднение? | Выявление точек затруднения: поиск множителя, деление, знак или проверка. |
Насколько самостоятельно вы можете разложить многочлен по алгоритму? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы научились раскладывать многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки и увидели, что это обратное действие раскрытию скобок. Важно не угадывать множитель, а проверять, входит ли он в каждый член многочлена. Если возникает ошибка, сначала вернитесь к делению каждого члена на общий множитель. На следующем уроке мы продолжим преобразования и будем использовать разложение для решения более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 выражений на вынесение общего числового и буквенного множителя за скобки, включая два выражения с отрицательными слагаемыми. Для каждого решения записать общий множитель и выполнить проверку раскрытием скобок. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на полноту общего множителя, знаки и совпадение результата при раскрытии скобок. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения с буквами разных степеней и двумя буквенными переменными, например вида $18x^3y-24x^2y^2$. В двух примерах письменно объяснить, почему выбран именно такой общий множитель. | Развивает анализ структуры одночленов; при проверке смотреть на правильный выбор наименьших степеней общих букв и аргументацию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных многочлена, которые раскладываются вынесением общего множителя, выполнить разложение и проверку. Дополнительно разобрать одну неверную запись разложения и исправить её. | Развивает создание математических примеров и критическое мышление; при проверке оценить корректность примеров, объяснение ошибки и обратную проверку. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой множитель можно вынести за скобки?», «Почему общий множитель должен входить в каждый член многочлена?», «Каким действием проверяют правильность разложения?», «Какую ошибку при работе со знаками нужно предупредить?»
