Разложение многочлена на множители способом группировки
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться раскладывать на множители многочлены, содержащие четыре слагаемых, способом группировки и выполнять проверку результата раскрытием скобок.
- Образовательная задача: вывести алгоритм группировки слагаемых и вынесения общего множителя за скобки.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру многочлена, находить общий множитель и объяснять последовательность преобразований.
- Коммуникативная задача: формировать умение обсуждать варианты группировки в парах, аргументировать выбор и корректно проверять решение одноклассника.
- Воспитательная задача: развивать самостоятельность, аккуратность математической записи и ответственное отношение к результату совместной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску разных способов преобразования алгебраических выражений.
- Осознают ценность самостоятельного поиска и проверки гипотез при решении математической задачи.
- Формируют ответственное отношение к точности знаков, коэффициентов и последовательности преобразований.
- Оценивают собственный уровень понимания темы и определяют, какая помощь необходима для дальнейшей работы.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки выражения и устанавливают связи между группами слагаемых.
- Планируют последовательность преобразований и контролируют её по промежуточному результату.
- Используют смысловое чтение математической записи, таблицу алгоритма и проверку раскрытием скобок.
- Сотрудничают в паре: распределяют действия, сравнивают решения и формулируют аргументированный вывод.
Предметные
- Знают, что разложение на множители представляет многочлен в виде произведения выражений.
- Понимают идею группировки: объединяют слагаемые так, чтобы после вынесения общего множителя появились одинаковые скобки.
- Умеют раскладывать многочлены с четырьмя слагаемыми способом группировки.
- Умеют проверять полученное разложение раскрытием скобок и находить ошибки в знаках или выборе групп.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок: научиться видеть удобную структуру многочлена.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через последовательный анализ выражения.
- Осознают связь математической аккуратности с надёжностью результата.
- Принимают возможность существования нескольких вариантов группировки и уважительно обсуждают решения одноклассников.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную задачу на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют действия: сгруппировать, вынести общий множитель, получить общую скобку, вынести её.
- Сверяют каждый шаг с условием задачи и проверяют результат раскрытием скобок.
- Исправляют найденные ошибки и оценивают степень достижения цели по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Сравнивают слагаемые и находят общие буквенные и числовые множители.
- Моделируют преобразование выражения цепочкой равенств.
- Устанавливают, почему удачная группировка приводит к одинаковым скобкам.
- Анализируют ошибочные решения и объясняют, на каком шаге нарушен алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос о причине затруднения и предлагают гипотезу.
- Объясняют партнёру смысл каждого преобразования, а не только называют ответ.
- Согласуют общий вариант решения и распределяют роли при работе с карточкой.
- Используют математические термины и аргументированно принимают либо отклоняют предложение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с выражениями $ax+ay+bx+by$ и $x^2+3x+2x+6$.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные карточки с элементами алгоритма для групповой сборки — по одному комплекту на группу из четырёх человек.
- Распечатать лист взаимопроверки с критериями: правильная группировка, вынесение множителя, общая скобка, проверка.
- Подготовить цветные маркеры или выделение на интерактивной доске для обозначения групп слагаемых.
- На доске заранее оставить место для темы, алгоритма и образца проверки раскрытием скобок.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для формирующего оценивания.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, таймер, доска и маркеры.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой и вызвать интерес к поиску нового способа разложения многочлена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для заметок должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только умение выполнять преобразования, но и способность замечать структуру выражения. Работать можно будет индивидуально, в паре и выбрать задание подходящего уровня." | Проверяют принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель записывает на доске $x^2+3x+2x+6$ и говорит: "Посмотрите на выражение. Его можно преобразовать несколькими способами. Попробуйте за несколько секунд заметить, какие слагаемые словно просятся друг к другу. Не называйте пока окончательный ответ — сформулируйте только наблюдение." | Рассматривают выражение, предлагают: "Можно объединить первые два и последние два слагаемых" или "В выражении есть пары с общими множителями". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели выражение, в котором отдельные слагаемые связаны между собой. Сейчас проверим, какие способы преобразования уже умеем применять и где именно возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать распределительный закон и вынесение общего множителя за скобки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Математическая разминка": "Вспомним, что значит вынести общий множитель за скобки. Преобразуйте выражения $6x+9$, $4a^2-8a$, $12mn+4m$. Объясняйте не только ответ, но и почему именно этот множитель выбран общим." | Индивидуально выполняют записи: $6x+9=3(2x+3)$, $4a^2-8a=4a(a-2)$, $12mn+4m=4m(3n+1)$. Объясняют выбор общего множителя. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как проверить такое преобразование? Какой закон позволяет вынести множитель? Что должно измениться после вынесения?" На доске фиксирует формулу $ab+ac=a(b+c)$. | Отвечают: "Нужно раскрыть скобки и сравнить с исходным выражением"; "Используем распределительный закон умножения"; "Число слагаемых обычно сохраняется, но выражение представляется произведением". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выносить общий множитель из двух или нескольких слагаемых. Но в новом выражении четыре слагаемых, и общего множителя у всех сразу может не быть. Значит, нам нужно найти другой путь."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать способ его преодоления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выражение $ax+ay+bx+by$: "Попробуйте вынести один общий множитель сразу из всех четырёх слагаемых. Что получится? Почему этот путь не приводит к произведению?" | Проверяют слагаемые и формулируют: "Общего множителя у всех четырёх слагаемых может не быть"; называют затруднение. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем минуту обсудите, как разделить слагаемые на две группы. Важно получить одинаковую скобку после вынесения множителей. Какую цель поставим на урок?" | Сначала записывают гипотезу, затем обсуждают в парах. Формулируют цель: "Научиться группировать слагаемые и раскладывать многочлен на множители". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит не в самом вынесении множителя, а в выборе групп. Сегодня мы выясним, как подобрать группы так, чтобы после двух вынесений появилась одинаковая скобка."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознать алгоритм разложения многочлена способом группировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выделяет цветом пары в выражении $ax+ay+bx+by$: "Рассмотрим группировку первых двух и последних двух слагаемых: $ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)$. В первой группе вынесем $a$, во второй — $b$. Выполните эти действия вместе со мной и внимательно посмотрите на результат." | Записывают: $(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)$. Замечают одинаковую скобку $(x+y)$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь в полученном выражении $a(x+y)+b(x+y)$ общий множитель — не отдельная буква, а целая скобка. Вынесем её: $a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$. Как можно назвать выполненный способ?" | Отвечают: "Разложение на множители способом группировки". Записывают полную цепочку равенств. |
3 мин | Учитель показывает на доске алгоритм: "Первое: сгруппировать слагаемые. Второе: в каждой группе вынести общий множитель. Третье: убедиться, что скобки одинаковы. Четвёртое: вынести общую скобку. Пятое: проверить раскрытием скобок. Разберём пример $x^2+3x+2x+6$." Учитель ведёт решение вопросами. | Предлагают решение: $x(x+3)+2(x+3)=(x+3)(x+2)$. Проверяют раскрытием скобок и формулируют алгоритм своими словами. |
Запись в тетрадях
Разложение способом группировки: $ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$. Алгоритм: сгруппировать слагаемые; вынести общий множитель в каждой группе; получить одинаковые скобки; вынести общую скобку; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли новый способ: сначала работаем с группами слагаемых, затем с общей скобкой. Теперь проверим алгоритм на нескольких выражениях и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в совместном решении и научиться распознавать удачную группировку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку с выражениями $3a+3b+xa+xb$ и $mn+2m+3n+6$. Реплика: "Работайте в парах. Один ученик предлагает группировку, второй проверяет появление одинаковых скобок. Через две минуты поменяйтесь ролями. Запишите цепочку равенств полностью." | Решают: $3(a+b)+x(a+b)=(a+b)(3+x)$; $m(n+2)+3(n+2)=(n+2)(m+3)$. Объясняют партнёру выбор групп. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями и поставьте отметку по трём признакам: группы выбраны верно, общий множитель вынесен без ошибки, итог проверен раскрытием скобок." | Проверяют работу партнёра, записывают два достоинства и одно пожелание по приёму "Две звезды и пожелание". |
2 мин | Учитель предлагает найти ошибку на доске: $x^2+2x+3x+6=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$. Спрашивает: "Как доказать, что запись верна?" | Раскрывают скобки: $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$, сравнивают с исходным выражением и делают вывод: решение верно. |
Эталон решения
Для $x^2+2x+3x+6$: $x^2+2x+3x+6=(x^2+2x)+(3x+6)=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$. Проверка: $(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$, что совпадает с исходным многочленом после приведения подобных слагаемых.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что результат можно проверять не по внешнему виду, а раскрытием скобок. Теперь каждый самостоятельно выберет уровень задания и покажет, насколько уверенно применяет алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение способом группировки и умение корректировать решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите зелёную карточку базового уровня, синюю повышенного или фиолетовую дополнительного уровня. Выбор не является оценкой ваших способностей: он показывает, какой вызов вы готовы принять сегодня. В каждом решении обязательна проверка." | Выбирают карточку и записывают выбранный уровень. |
6 мин | Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы: "Какие слагаемые ты объединил? Какой общий множитель вынес? Совпали ли скобки?" На карточках: базовый — $2x^2+6x+xy+3y$; повышенный — $4a^2-8a+3ab-6b$; дополнительный — $x^3+2x^2+3x+6x$. | Решают. Возможные записи: $2x(x+3)+y(x+3)=(x+3)(2x+y)$; $4a(a-2)+3b(a-2)=(a-2)(4a+3b)$; $x^2(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x^2+3)$. Выполняют проверку. |
2 мин | Учитель выводит эталон и говорит: "Сверьте не только конечный ответ, но и каждый переход. Если обнаружили ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление." | Сверяют решение, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки: "Я умею группировать", "Я умею выносить общий множитель", "Я умею проверять". |
Эталон решения
Для повышенного задания: $4a^2-8a+3ab-6b=(4a^2-8a)+(3ab-6b)=4a(a-2)+3b(a-2)=(a-2)(4a+3b)$. Проверка: $(a-2)(4a+3b)=4a^2+3ab-8a-6b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без пошаговой подсказки. Осталось обобщить, какие признаки помогают выбрать группы, и зафиксировать личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ, выявить затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно выполнить все шаги; жёлтую — если нужна тренировка выбора групп; красную — если пока трудно вынести общий множитель. Объясните свой выбор одним предложением." | Поднимают карточки и формулируют: "Мне легко проверять раскрытием скобок"; "Мне трудно заметить одинаковую скобку"; "Мне нужна помощь с выражениями, где есть отрицательные коэффициенты". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что является первым шагом? Почему после группировки должны появиться одинаковые скобки? Как проверить ответ?" Фиксирует краткий алгоритм на доске. | Отвечают: "Сначала группируем слагаемые"; "Иначе общую скобку вынести нельзя"; "Раскрываем скобки и сравниваем с исходным многочленом". |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание и говорит: "Перед выходом ответьте на контрольный вопрос на стикере: как разложить $ab+ac+db+dc$? Запишите только цепочку преобразований." | Записывают домашнее задание, решают контрольный вопрос: $(a+d)(b+c)$. Прикрепляют стикер к доске. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились превращать неудобный многочлен в произведение, если умеете увидеть связи между слагаемыми. На следующем уроке мы продолжим разложение на множители и рассмотрим другие специальные способы преобразования."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранной карточки, корректно проведены группировка и вынесение общих множителей, итог проверен раскрытием скобок, запись аккуратная и содержит объяснение шагов.
- "4" — основная идея способа применена верно, но допущена одна неточность в записи или проверке, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- "3" — выполнено хотя бы одно разложение с частичной помощью, правильно определены группы либо общий множитель, но есть ошибки в одном из последующих шагов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является первым шагом при разложении многочлена способом группировки? | Проверка понимания общей последовательности алгоритма. |
Как понять, что группировка выбрана удачно? | Выявление понимания признака: после вынесения множителей появляются одинаковые скобки. |
На каком шаге сегодня возникло затруднение? | Диагностика конкретного места затруднения: группировка, вынесение множителя или проверка. |
Как ты проверяешь полученный ответ? | Осознание необходимости раскрытия скобок и сравнения с исходным многочленом. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились раскладывать многочлен на множители способом группировки. Главное — не угадывать ответ, а последовательно объединять слагаемые, выносить общий множитель и получать одинаковую скобку. Особенно внимательно проверяйте знаки перед слагаемыми: именно здесь чаще всего появляется ошибка. На следующем уроке мы сравним группировку с другими способами разложения и выберем наиболее рациональный способ для каждого выражения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 многочлена с четырьмя слагаемыми, в каждом применить группировку и записать проверку раскрытием скобок. | Закрепить алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность групп и знаков. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 многочленов, включая выражения с отрицательными коэффициентами и буквами в разных степенях; для каждого кратко указать выбранную группировку. | Развить умение распознавать структуру выражения и самостоятельно выбирать пары слагаемых. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных многочлена, которые раскладываются группировкой, решить их и предложить пример, где первая очевидная группировка не даёт одинаковых скобок. | Развить моделирование, проверку гипотез и понимание условия применимости способа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: 1) Что нужно получить после вынесения общих множителей в группах? 2) Как выполнить проверку разложения? 3) Выполните преобразование $ab+ac+db+dc$ и объясните выбор группировки.
