Признаки делимости, разложение на множители и действия с рациональными числами
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, раскладывать натуральные числа на простые множители и использовать результаты разложения при выполнении арифметических действий с рациональными числами.
- Познакомить учащихся с признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 и организовать их самостоятельное формулирование на основе анализа чисел.
- Научить раскладывать натуральные числа на простые множители и проверять результат обратным умножением.
- Закрепить выполнение действий с рациональными числами в заданиях разного уровня сложности, включая задания с реальным математическим контекстом.
- Развивать умение выбирать способ решения, объяснять ход рассуждений, контролировать вычисления и корректировать ошибки; формировать ответственное отношение к совместной и самостоятельной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точных вычислений и проверки результата в учебной и практической деятельности.
- Проявляют интерес к поиску закономерностей и готовность самостоятельно выбирать уровень задания.
- Формируют ответственное отношение к результату своей работы и уважение к аргументированному мнению одноклассников.
- Понимают связь математических навыков с будущей учебной и профессиональной деятельностью, связанной с анализом данных и расчётами.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют закономерности в записи чисел, классифицируют числа по признакам делимости, строят алгоритм разложения на множители.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность действий, выполняют самопроверку и исправляют вычислительные ошибки.
- Коммуникативные: формулируют вопросы, объясняют способ решения в паре, аргументируют выбор признака делимости.
- Работают с информацией учебника, сопоставляют правило и пример его применения, выбирают задание с учётом собственной готовности.
Предметные
- Знать признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Уметь определять делимость числа без выполнения полного деления и объяснять выбранный признак.
- Уметь раскладывать натуральное число на простые множители и записывать разложение в виде произведения и степени.
- Уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел, соблюдая порядок действий.
- Уметь проверять вычисления обратным действием или оценкой полученного результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться быстро распознавать делимость и уменьшать объём вычислений.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Оценивают значение аккуратной записи и проверки результата для успешного решения задач.
- Сохраняют конструктивное отношение к ошибке как к источнику дальнейшего обучения.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения: выбрать признак, применить его, записать вывод и проверить результат.
- Распределяют время между индивидуальной работой и взаимопроверкой.
- Сопоставляют полученный ответ с эталоном, находят место ошибки и исправляют её.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Анализируют последние цифры и сумму цифр числа для выявления признака делимости.
- Сравнивают несколько способов проверки делимости и выбирают наиболее рациональный.
- Моделируют разложение числа на простые множители в виде дерева или последовательной цепочки деления.
- Устанавливают связь между разложением на множители и упрощением последующих вычислений с рациональными числами.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему число делится или не делится на выбранный делитель.
- Задают уточняющие вопросы и используют математические термины в устном объяснении.
- Согласуют общий ответ в паре и корректно комментируют решение одноклассника.
- Разрешают разногласия через проверку правила, примера или обратного действия.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с темой урока, целью, таблицей признаков делимости и алгоритмом разложения числа на простые множители.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «Я знаю признак делимости», «Я умею раскладывать число», «Я умею выполнять действия с рациональными числами».
- Подготовить карточки для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись»: числа 126, 245, 378, 540, 1001 и утверждения о делимости.
- Раздать на каждую парту памятку с признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10; памятка используется после самостоятельной попытки, а не вместо неё.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для демонстрации на экране или отдельные листы для самопроверки.
- Предусмотреть цветные маркеры: синим выделяются последние цифры, зелёным — сумма цифр, красным — простые множители.
- Подготовить учебник для работы с формулировками правил и примерами; конкретные номера заданий учитель выбирает из своей линии УМК.
- Организовать на доске три зоны: «Признаки», «Разложение», «Рациональные числа»; подготовить магнитные карточки с числами и знаками арифметических действий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность быстрых проверок делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а искать способы сделать их быстрее и надёжнее. Это навык, который нужен при работе с данными, финансами, программированием и инженерными расчётами." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 126, 245 и 378 и предлагает приём «Быстрый прогноз»: "Не выполняя деление столбиком, определите, какие из этих чисел делятся на 2, 3, 5 или 9. Пока не называйте правило, просто запишите предположение и один признак, на который вы опирались." | Индивидуально записывают предположения; называют варианты: «126 делится на 2 и 3», «245 делится на 5», «378 делится на 2, 3 и 9». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете замечать некоторые закономерности, но пока не сформулировали все правила строго. Сейчас выясним, как по записи числа быстро определить его делимость и использовать это при разложении и вычислениях."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о натуральных, простых и составных числах, делителе и рациональных числах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный опрос: "Что называют делителем числа? Чем простое число отличается от составного? Назовите первые простые числа. Как проверить результат умножения?" На доске фиксирует ключевые слова: «делится без остатка», «два делителя», «больше двух делителей». | Отвечают: «Делитель — число, на которое данное число делится без остатка»; «простое число имеет два делителя»; называют 2, 3, 5, 7, 11; предлагают выполнить обратное действие. |
2 мин | Учитель предлагает вычислить устно: $-3+7$, $5-(-2)$, $(-4)\cdot(-6)$, $18:(-3)$ и спрашивает: "Какие правила знаков вы применили? Почему в выражении $5-(-2)$ появляется сложение?" | Выполняют вычисления и объясняют: «$-3+7=4$», «$5-(-2)=7$», «$(-4)\cdot(-6)=24$», «$18:(-3)=-6$»; формулируют правила знаков. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: "Сверьте ответы с соседом. Назовите две верные операции и одну запись, которую стоит проверить внимательнее. Не исправляйте работу молча — объясните причину." | Сверяют четыре вычисления, отмечают два удачных действия и формулируют одно пожелание по исправлению записи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили делители, простые числа и правила действий с рациональными числами. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы быстро исследовать большие числа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражение $735:5$ и говорит: "Можно выполнить деление столбиком, но математик часто ищет более короткий путь. Посмотрите на число 735. Что в его записи позволяет заранее сделать вывод о делимости на 5? А как без деления понять, делится ли оно на 3 или 9?" | Обсуждают в парах 30 секунд, затем отвечают: «Последняя цифра 5, поэтому число делится на 5»; «для 3 и 9 нужно рассмотреть сумму цифр». |
2 мин | Учитель предъявляет спорное утверждение: «Число 248 делится на 4, потому что оно чётное». Спрашивает: "Согласны ли вы? Какой информации недостаточно? Как доказать или опровергнуть утверждение?" | Формулируют: «Чётность не гарантирует делимость на 4»; проверяют $248:4=62$ и замечают, что для признака на 4 нужно анализировать две последние цифры. |
1 мин | Учитель подводит к цели: "Сформулируйте, чему нам необходимо научиться сегодня. В цели должны быть действия, которые можно проверить в конце урока." | Формулируют цель: «Научиться применять признаки делимости, раскладывать числа на простые множители и использовать это при вычислениях с рациональными числами». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что мы пока не систематизировали признаки и не связали их с разложением числа. Сначала откроем правила, затем потренируемся и проверим себя на самостоятельной работе."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать признаки делимости и алгоритм разложения натурального числа на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует исследование: "Откройте учебник на теме урока и найдите формулировки признаков делимости. Сначала попытайтесь объяснить их по таблице чисел на доске: 120, 124, 135, 246, 333, 450. Для делимости на 2 посмотрите на последнюю цифру, для 3 и 9 — на сумму цифр, для 5 и 10 — на последнюю цифру. Обсудите в парах, какие выводы повторяются." | Работают с учебником и таблицей, выделяют последние цифры и суммы цифр, формулируют выводы: «На 2 делятся числа, последняя цифра которых 0, 2, 4, 6 или 8»; «на 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3»; «на 9 — сумма цифр делится на 9»; «на 5 — последняя цифра 0 или 5»; «на 10 — последняя цифра 0». |
3 мин | Учитель записывает на доске памятку: "Признак нужно не просто назвать, а применить. Например, $378$: последняя цифра 8, значит, число делится на 2; сумма цифр $3+7+8=18$, значит, делится на 3 и 9. Теперь разберём разложение. Число $84$ делим на простое число 2, получаем 42; ещё раз делим на 2, получаем 21; затем делим на 3 и получаем 7. Значит, $84=2\cdot2\cdot3\cdot7=2^2\cdot3\cdot7$." | Записывают пример, проговаривают последовательность: «Делим на простое число, пока частное не станет простым; затем записываем произведение найденных множителей». |
3 мин | Учитель задаёт вопросы по алгоритму: "Можно ли в разложении оставить составной множитель 6? Как проверить разложение числа 90? Как изменится запись, если одинаковые множители объединить в степень?" | Отвечают: «Нет, разложение должно состоять из простых множителей»; проверяют $2\cdot3\cdot3\cdot5=90$; записывают $90=2\cdot3^2\cdot5$. |
Запись в тетрадях
- На 2 делятся числа, последняя цифра которых 0, 2, 4, 6 или 8.
- На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.
- На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.
- На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5; на 10 — последняя цифра 0.
- Алгоритм разложения: последовательно делить число на простые множители и записать произведение всех полученных простых чисел.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два инструмента: признаки позволяют быстро установить делимость, а разложение показывает строение числа. Теперь применим их сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение признаков делимости и разложение чисел с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Определите без деления, на какие из чисел 2, 3, 5, 9 и 10 делится число 540. Запишите признак для каждого положительного ответа. Сначала работайте 40 секунд самостоятельно, затем сравните решение в паре." | Определяют: 540 делится на 2, 3, 5, 9 и 10; записывают: последняя цифра 0, сумма цифр $5+4+0=9$. |
2 мин | Учитель предлагает разобрать у доски задачу: "Разложите на простые множители число 126 и объясните каждое деление. После записи выполните проверку умножением." | Один ученик записывает $126=2\cdot63=2\cdot3\cdot21=2\cdot3\cdot3\cdot7=2\cdot3^2\cdot7$; класс проверяет произведение. |
2 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите базовую или повышенную карточку. Базовая: определить признаки делимости чисел 315 и 728. Повышенная: найти цифру $a$, чтобы число $42a$ делилось на 3 и на 5. Объясните решение соседу." | Выполняют выбранное задание. Для повышенного задания делают вывод: последняя цифра должна быть 0 или 5, а сумма цифр $4+2+a=6+a$ должна делиться на 3; подходят $a=0$ или $a=3$? Проверяют условие делимости на 5: $a=0$ или $5$; из них сумма цифр делится на 3 только при $a=0$, поэтому ответ $a=0$. |
Эталон решения
Для числа $42a$ делимость на 5 требует $a=0$ или $a=5$. При $a=0$ сумма цифр равна $4+2+0=6$, она делится на 3. При $a=5$ сумма равна $11$, на 3 не делится. Ответ: $a=0$, число $420$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили признаки не механически, а с объяснением. Обратите внимание: при выборе цифры нужно одновременно учитывать все условия. Теперь каждый проверит, насколько уверенно выполняет действия без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала и обеспечить дифференциацию по уровню сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет порядок: "Выберите карточку базового, среднего или повышенного уровня. Выполняйте работу самостоятельно. Если сомневаетесь, сначала запишите правило своими словами, а затем применяйте его. Пользоваться памяткой можно после первой попытки, отметив это знаком возле задания." | Выбирают уровень, подписывают карточку, планируют порядок выполнения. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: определить, на какие из 2, 3, 5, 9, 10 делятся 270 и 414; разложить 60 на простые множители; вычислить $-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$. Средний уровень: исследовать 735 и 924, разложить 180, вычислить $\frac{5}{6}-\frac{7}{12}$. Повышенный уровень: найти цифры $a$, при которых $36a$ делится на 9 и на 5; разложить 420; вычислить $(-\frac{2}{3})\cdot\frac{9}{4}+\frac{1}{2}$. | Индивидуально решают задания выбранного уровня, подчёркивают применённый признак, выполняют проверку разложений и рациональных выражений. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответы, но и ход решения. Отметьте плюсом верное задание, вопросительным знаком — место сомнения, стрелкой — исправленную ошибку. После этого заполните лист самооценки." | Проверяют: $270$ делится на все пять указанных чисел; $414$ делится на 2 и 3; $60=2^2\cdot3\cdot5$; $-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$. Исправляют ошибки и отмечают уровень освоения. |
Эталон решения
Для среднего уровня: $735$ делится на 3, 5 и 9, так как $7+3+5=15$, а последняя цифра равна 5; $924$ делится на 2 и 3, так как последняя цифра 4 и $9+2+4=15$. Разложение: $180=2\cdot90=2\cdot2\cdot45=2^2\cdot3^2\cdot5$. Вычисление: $\frac{5}{6}-\frac{7}{12}=\frac{10}{12}-\frac{7}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство из вас уже умеет выбирать признак и выполнять разложение. Ошибки чаще всего связаны с невнимательной суммой цифр, пропуском простого множителя или неверным приведением дробей. На следующем этапе свяжем все действия в одной практической задаче."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить способы действий, оценить достижение цели и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает мини-кейс: "Для оформления набора нужно разделить 84 одинаковых элемента на равные группы, а затем вычислить стоимость одной группы: общая стоимость составляет $-12$ рублей, число групп равно $2^2\cdot3\cdot7$. Как проверить, что разложение действительно соответствует 84, и какое действие с рациональными числами нужно выполнить, чтобы найти стоимость группы?" | Выполняют: проверяют $2^2\cdot3\cdot7=84$; находят $-12:84=-\frac{1}{7}$ рубля; объясняют, что сначала разложение проверяет количество групп, затем выполняется деление рациональных чисел. |
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — применяю признаки и раскладываю числа самостоятельно; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в вычислениях; красный — нужна помощь. Запишите одно действие, которое будете тренировать дома." | Показывают карточку, записывают индивидуальный затруднительный шаг: «сумма цифр», «степенная запись разложения» или «приведение дробей к общему знаменателю». |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выполните обязательную часть, затем выберите средний или продвинутый уровень по своей готовности. В каждой записи обязательно указывайте применённый признак и выполняйте проверку." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сверяют выбранный уровень с листом самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть делимость по записи числа, раскладывать числа на простые множители и использовать это в вычислениях. Сохраните алгоритм и обращайтесь к нему при самостоятельной работе."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — выполнены все задания выбранного уровня, правильно применены признаки делимости, разложения записаны только через простые множители, действия с рациональными числами выполнены без ошибок и приведена хотя бы одна проверка.
- "4" — выполнено не менее 80 процентов заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи степени, но способ решения и применение признаков в основном верны.
- "3" — выполнено не менее половины заданий, правильно определён хотя бы один признак делимости и начато разложение числа, однако имеются ошибки в алгоритме или действиях с рациональными числами.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости вы теперь можете объяснить своими словами и привести к нему пример? | Проверка осознанности формулировки правила, а не механического запоминания. |
Какой шаг алгоритма разложения числа на простые множители оказался самым важным? | Выявление понимания последовательности действий и возможных точек затруднения. |
Где в самостоятельной работе вы допустили ошибку или использовали подсказку? | Диагностика типичных ошибок и формирование навыка самоконтроля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценка субъективной готовности и развитие учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что запись числа содержит важную информацию: по последней цифре и сумме цифр можно быстро установить делимость. Мы научились раскладывать натуральные числа на простые множители и использовать этот результат в вычислениях с рациональными числами. Помните о типичной ошибке: одного признака, например чётности, недостаточно, если требуется проверить делимость на другое число. Дома выберите посильный уровень и обязательно объясняйте каждый шаг. На следующем уроке мы продолжим применять разложение на множители при решении более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: определить делимость четырёх натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10; разложить два числа на простые множители; решить 2 выражения с рациональными числами, аналогичные разобранным на уроке. | Закрепляет основные признаки, алгоритм разложения и правила действий; при проверке обратить внимание на объяснение признака и порядок действий. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий: подобрать цифру в двух числах, чтобы они делились одновременно на два заданных числа; разложить два составных числа; решить 2 выражения с рациональными числами и выполнить обратную проверку. | Развивает применение нескольких условий и самоконтроль; проверить, учтены ли все ограничения и сокращены ли дроби. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить мини-задачу из реального контекста, где требуется разложить число на простые множители и вычислить стоимость или долю с рациональными числами; дополнительно исследовать все цифры, при которых пятизначное число делится на 9 и 5. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать решение; при проверке оценить корректность условия, полноту перебора и обоснование ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Назовите признак делимости на 9». «Какая запись является разложением числа $72$ на простые множители?» «Как проверить результат вычисления с рациональными числами?»
