Числовые выражения и выражения с переменными
Цели и задачи
- Цель: сформировать умение различать числовые выражения и выражения с переменными, находить их значения и определять область допустимых значений переменной.
- Образовательная задача: научить вычислять значения числовых выражений, соблюдая порядок действий, и находить значения выражений с переменными при заданных значениях аргумента.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение анализировать структуру математического выражения и выявлять ограничения (невозможность деления на ноль).
- Воспитательная задача: воспитывать культуру математической речи, аккуратность ведения записей и ответственное отношение к принятию решений через выбор уровня сложности заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: умение самостоятельно ставить цели, планировать пути их достижения и осуществлять самоконтроль.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, аргументировать свою позицию.
Предметные
- Знать определения числового выражения, выражения с переменной и допустимых значений переменной.
- Уметь находить значение числового выражения, содержащего степени и скобки.
- Уметь находить значение буквенного выражения при заданных значениях переменных.
- Понимать смысл выражения и определять, при каких значениях переменной оно имеет смысл.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
- Нравственно-этическая ориентация (оценивание усваиваемого содержания).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности промежуточных целей.
- Оценка качества и уровня усвоения материала.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
- Рефлексия способов и условий действия.
Коммуникативные УУД
- Постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (прием «Математическое лото») — 15 комплектов на пары.
- Подготовить презентацию с визуализацией проблемной ситуации (деление на ноль).
- Подготовить раздаточный материал для самостоятельной работы с тремя уровнями сложности (зеленый, желтый, красный).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Заготовить на доске таблицу для приема «Знаю — Хочу узнать — Узнал».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать позитивный эмоциональный настрой и включить учащихся в мыслительную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, друзья! Рад вас видеть. Сегодня мы начинаем новый большой раздел алгебры. Посмотрите на доску, там зашифрована фраза известного математика: 'Язык природы — это язык математики'. Как вы думаете, почему математику называют языком?" | "Приветствуют учителя. Размышляют над вопросом, предлагают варианты: 'Потому что с помощью цифр можно описать мир', 'Математика универсальна для всех стран'." |
2 мин | "Совершенно верно. Но чтобы говорить на этом языке, нам нужны слова и предложения. В алгебре роль слов играют выражения. Сегодня мы научимся их конструировать и понимать. Запишите в тетрадях дату и тему урока: 'Числовые выражения и выражения с переменными'." | "Записывают дату и тему урока в тетради. Настраиваются на работу." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили наш вектор движения. Прежде чем строить новое, давайте проверим наш фундамент знаний."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить порядок действий и правила вычислений с рациональными числами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Проведем небольшую разминку в парах. У вас на столах карточки с приемом 'Математическое лото'. Вам нужно соотнести пример и его результат. Будьте внимательны с порядком действий и знаками! Примеры включают: 1) 0,5 * 4 - 10; 2) (-2)^3 + 5; 3) 12 / (2 + 4)." | "Работают в парах. Соотносят карточки. Ожидаемые ответы: 1) -8; 2) -3; 3) 2. Обсуждают результаты с соседом." |
2 мин | "Давайте сверимся с экраном. У кого все три ответа совпали? Поднимите руки. Какие правила мы сейчас вспомнили?" | "Сверяют ответы. Поднимают руки. Отвечают: 'Порядок действий', 'Возведение отрицательного числа в степень', 'Действия с десятичными дробями'." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, вычислительные навыки в порядке. Теперь перейдем к главной загадке сегодняшнего дня."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (5 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, демонстрирующую ограничение области допустимых значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на два выражения на слайде: 1) (15 + 5) / 4 и 2) (15 + 5) / (x - 3). Найдите значение первого выражения. А теперь попробуйте найти значение второго, если x = 7, x = 5 и x = 3. Что вы заметили?" | "Считают: первое равно 5. Для второго: при x=7 получается 5; при x=5 получается 10. При x=3 замолкают, пробуют считать." |
2 мин | "В чем проблема? Почему при x = 3 у вас возникла пауза?" | "Отвечают: 'Получается деление на ноль!', 'А на ноль делить нельзя!', 'Значит, при x=3 выражение не имеет смысла'." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Именно! Мы столкнулись с ситуацией, когда выражение 'теряет смысл'. Это и будет одной из наших задач — научиться видеть такие 'опасные' зоны."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: дать определения основным понятиям, классифицировать выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте систематизируем наши знания. Используем прием 'Диаграмма Венна'. На доске два круга: 'Числовые выражения' и 'Выражения с переменными'. Я буду называть выражения, а вы говорите, куда их отнести и почему. Примеры: 2*3-7; 5a+b; (x+y)/2; 100/25." | "Ученики распределяют: числовые содержат только числа и знаки действий, буквенные (с переменными) содержат буквы. Формулируют определения в тетрадь." |
4 мин | "Теперь о самом важном. Запишем определение: 'Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных'. Как нам найти эти значения, если в выражении есть дробь?" | "Предполагают: 'Нужно проверить, чтобы знаменатель не был равен нулю'. Записывают алгоритм: 1. Найти знаменатель. 2. Приравнять его к нулю. 3. Исключить эти числа из ответа." |
4 мин | "Давайте разберем пример: 8 / (2x - 10). При каких x оно имеет смысл? Я записываю на доске: 2x - 10 ≠ 0. Решаем как уравнение." | "Следят за записью, решают в тетрадях: 2x ≠ 10, x ≠ 5. Делают вывод: 'x — любое число, кроме 5'." |
Запись в тетрадях
1. Числовое выражение — запись из чисел, знаков действий и скобок.
2. Выражение с переменной — содержит буквы.
3. ОДЗ (Область допустимых значений): знаменатель ≠ 0.
2. Выражение с переменной — содержит буквы.
3. ОДЗ (Область допустимых значений): знаменатель ≠ 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы вооружены теорией. Пора применить её на практике и проверить себя."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык нахождения значений выражений и ОДЗ с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем у доски и в тетрадях. Задание: Найти значение выражения 3a - 2b при a = -2, b = 4. Кто хочет попробовать? Проговаривай каждый шаг." | "Ученик у доски: 'Подставляю вместо a число -2, вместо b число 4. Получаю: 3 * (-2) - 2 * 4 = -6 - 8 = -14'. Класс записывает решение." |
3 мин | "Второе задание: Найти допустимые значения переменной для выражения 12 / (x(x-1)). Здесь два множителя в знаменателе. Что это значит?" | "Рассуждают: 'Значит, или x не должен быть нулем, или x-1 не должен быть нулем'. Находят: x ≠ 0 и x ≠ 1." |
0 мин |
Эталон решения
Задание 2: $$x(x-1) \neq 0$$
$$x \neq 0$$ и $$x-1 \neq 0$$
$$x \neq 0$$ и $$x \neq 1$$
Ответ: все числа, кроме 0 и 1.
$$x \neq 0$$ и $$x-1 \neq 0$$
$$x \neq 0$$ и $$x \neq 1$$
Ответ: все числа, кроме 0 и 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь. Теперь — момент самостоятельности. Выберите свой уровень сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы, развитие навыка самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Раздаю карточки. Зеленый уровень — базовый (найти значение выражения). Желтый — средний (найти значение + ОДЗ). Красный — сложный (составить выражение по условию задачи и найти ОДЗ). Выбирайте тот, в котором чувствуете уверенность." | "Выбирают карточку, решают индивидуально. Сосредоточенно работают в тетрадях." |
2 мин | "Время вышло. Откройте эталоны на обратной стороне карточек. Оцените свою работу: без ошибок — '5', одна ошибка — '4'. Поднимите руку, кто выбрал красный уровень и справился?" | "Сверяют решения, ставят себе отметку карандашом. Поднимают руки, делятся успехами." |
0 мин |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ошибки — это не страшно, это зоны роста. Главное, что вы их увидели сами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень достижения целей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вернемся к нашей таблице 'Знаю — Хочу узнать — Узнал'. Что мы запишем в третью колонку? Какие 'ловушки' в выражениях мы теперь умеем обходить?" | "Отвечают: 'Узнали про допустимые значения', 'Поняли, что буквы в алгебре — это числа-заместители', 'Ловушка — это деление на ноль'." |
1 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также разделено на уровни. Выберите тот, который поможет вам закрепить сегодняшний успех." | "Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы." |
0 мин |
Критерии оценивания практической работы
- '5' — выполнены все задания выбранного уровня (включая красный), нет вычислительных ошибок, верно определены ОДЗ.
- '4' — выполнен базовый и средний уровень, допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях, ОДЗ определено верно.
- '3' — выполнен только базовый уровень, есть ошибки в порядке действий или знаках при нахождении значения выражения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что было для тебя сегодня самым неожиданным? | Выявление эмоционального отклика на проблемную ситуацию. |
В какой момент урока ты чувствовал себя наиболее уверенно? | Определение зоны комфорта и успешности ученика. |
Сможешь ли ты объяснить другу, почему в выражении 5/(x-2) нельзя брать x=2? | Проверка глубины понимания основного концепта урока. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сделали важный шаг в изучении алгебраического языка. Мы научились не просто видеть цифры и буквы, но и понимать ограничения, которые накладывает логика математики. Помните, что переменная — это возможность, но у каждой возможности есть свои границы (ОДЗ). На следующем уроке мы научимся использовать эти выражения для решения реальных жизненных задач. Спасибо за работу, вы сегодня были отличной командой!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Найти значения 4 числовых выражений (дробные числа, степени) и 2 выражений с переменными при заданных целых значениях. | Закрепление навыка счета и подстановки. |
Средний (повышающий) | Найти область допустимых значений для 3 выражений с переменными в знаменателе (линейный вид). | Отработка навыка нахождения ограничений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить выражение с переменной, которое не имеет смысла при x = -1 и x = 4. | Развитие творческого и обратного мышления. |
Контрольный вопрос: Может ли числовое выражение не иметь значения? Приведите пример.
