Целые и рациоанальные числа.
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать знания о множестве рациональных чисел и научиться алгоритму перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.
- Образовательная задача: Повторить классификацию чисел, закрепить навыки арифметических действий с дробями и процентами, вывести и освоить правило перевода периодических дробей.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через выявление закономерностей и формирование навыка самоконтроля при выполнении преобразований.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к точности вычислений как основы успешной подготовки к государственной итоговой аттестации (ЕГЭ).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в современном мире.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Навыки сотрудничества со сверстниками в образовательной деятельности (работа в парах).
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: способность самостоятельно ставить цели, планировать пути их достижения, выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, использовать адекватные языковые средства для дискуссии.
Предметные
- Владение понятием рационального числа, умение представлять рациональное число в виде десятичной или обыкновенной дроби.
- Умение переводить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь.
- Навык выполнения арифметических операций с рациональными числами в сложных числовых выражениях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом — подготовкой к ЕГЭ).
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнёра — контроль, коррекция, оценка его действий.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить мультимедийную презентацию с алгоритмом перевода периодических дробей и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки для работы в парах (по 1 шт. на парту, итого 15 шт.) с заданиями повышенной сложности и задачами из открытого банка ЕГЭ.
- Проверить наличие учебников «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы» (Ш.А. Алимов и др.) у каждого ученика.
- Настроить проектор и интерактивную доску для демонстрации эталонов решения.
- Подготовить онлайн-таймер для контроля времени выполнения самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, десятиклассники! Сегодня мы начинаем повторение и углубление темы, которая кажется знакомой с 5 класса, но таит в себе немало сюрпризов. Проверьте, пожалуйста, наличие на столах учебников Алимова, тетрадей и письменных принадлежностей." | Приветствуют учителя, проверяют рабочее место, настраиваются на урок. |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: записывает на доске равенство 0,999... = 1. "Ребята, посмотрите на это выражение. Как вы считаете, истинно ли оно? Большинство людей интуитивно говорят 'нет', ведь 0,999... всегда чуть меньше единицы. Сегодня мы докажем, что это не так, и научимся работать с такими 'бесконечными' объектами." | Вступают в дискуссию, высказывают предположения. Большинство выражает сомнение в равенстве. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши сомнения понятны, но математика — наука точная. Чтобы разобраться с этим парадоксом, нам нужно вспомнить всё, что мы знаем о рациональных числах."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о классификации рациональных чисел и способах их представления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним определение. Какое число называется рациональным? Откройте учебник Алимова на странице 3, найдите определение и зачитайте его." | Один из учеников читает: "Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное". |
2 мин | Учитель выводит на экран слайд с числами: -5; 0,25; 1/3; 0; 7; 2,1(3). "Распределите эти числа по группам: целые, конечные десятичные дроби, бесконечные периодические дроби. Какое из этих чисел вызывает у вас наибольшее затруднение при попытке представить его в виде m/n?" | Ученики устно классифицируют числа. Указывают на 2,1(3) как на число, перевод которого в обыкновенную дробь они не помнят или не знают. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно, с конечными дробями мы справляемся легко, а вот бесконечные периодические дроби требуют особого подхода. Это и станет нашей сегодняшней задачей."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать проблему — невозможность выполнить арифметическое действие с разными видами дробей без перевода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задачу: "Вычислите значение выражения: 1/3 + 0,(6). Как нам поступить? Мы можем перевести 1/3 в десятичную дробь, но получим 0,333... Как сложить два бесконечных ряда цифр? А если нам нужно умножить 0,(2) на 4,5? В чем главная сложность?" | Ученики пробуют считать, сталкиваются с тем, что сложение в столбик бесконечных дробей неудобно. Приходят к выводу: "Нужно уметь переводить периодическую дробь в обыкновенную, чтобы работать по стандартным правилам". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, проблема ясна: мы не владеем универсальным алгоритмом перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную. Давайте его создадим."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и составить план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Какова цель нашего урока? Сформулируйте её. Какой план действий вы предлагаете?" Учитель фиксирует план на доске: 1. Разобрать пример перевода. 2. Сформулировать общее правило. 3. Потренироваться на заданиях из учебника." | Формулируют цель: "Научиться переводить периодические дроби в обыкновенные и применять это при вычислениях". Соглашаются с предложенным планом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План намечен. Приступаем к реализации."
Этап 5. Реализация проекта (12 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм перевода периодической дроби через введение переменной и решение уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель демонстрирует метод на примере x = 0,(2). "Пусть x = 0,222... Умножим обе части на 10. Что получится? 10x = 2,222... Теперь вычтем из второго уравнения первое: 10x - x = 2,222... - 0,222... Что мы видим? Бесконечные 'хвосты' уничтожились! 9x = 2, значит x = 2/9." | Записывают решение в тетради, анализируют логику уничтожения периодической части. |
7 мин | "А теперь попробуйте сами по этому образцу перевести 0,1(6). Внимание: здесь период начинается не сразу. На что нужно умножить x сначала, чтобы период оказался сразу после запятой?" Учитель контролирует процесс, помогает тем, кто запутался. | Работают самостоятельно. Догадываются, что нужно сначала умножить на 10 (10x = 1,666...), а затем еще раз на 10 (100x = 16,666...). Вычитают: 90x = 15, x = 15/90 = 1/6. |
Запись в тетрадях
Алгоритм перевода:
1. Обозначить дробь за x.
2. Умножить на 10n, чтобы перенести запятую к началу периода.
3. Умножить на 10k, чтобы перенести запятую в конец первого периода.
4. Вычесть уравнения и найти x.
1. Обозначить дробь за x.
2. Умножить на 10n, чтобы перенести запятую к началу периода.
3. Умножить на 10k, чтобы перенести запятую в конец первого периода.
4. Вычесть уравнения и найти x.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели универсальный способ. Теперь проверим, как он работает на практике с задачами из нашего учебника."
Этап 6. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить навык перевода и вычислений в ходе совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Откройте учебник Алимова, страница 8, № 5 (1, 3) и № 6 (2). Работаем в парах. Обсуждайте каждый шаг: на что умножаем, что вычитаем. Один пишет, другой проверяет, затем меняетесь. Я прохожу по рядам и консультирую." | Ученики в парах решают примеры: переводят 0,(5), 0,(12), 1,1(3) в обыкновенные дроби. Сверяют промежуточные результаты, спорят, приходят к общему решению. |
Эталон решения
№ 5(3): x = 0,(12) => 100x = 12,(12) => 99x = 12 => x = 12/99 = 4/33.
№ 6(2): x = 1,1(3) => 10x = 11,(3), 100x = 113,(3) => 90x = 102 => x = 102/90 = 17/15 = 1 2/15.
№ 6(2): x = 1,1(3) => 10x = 11,(3), 100x = 113,(3) => 90x = 102 => x = 102/90 = 17/15 = 1 2/15.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, пары справились. Теперь — индивидуальное испытание в формате ЕГЭ."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала и умение применять его в стандартных ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран два задания: 1) Представить в виде обыкновенной дроби 0,2(18). 2) Найти 20% от числа, представленного дробью 0,(6). "У вас 4 минуты. Работаем самостоятельно." | Решают задачи в тетрадях. Применяют алгоритм и знания о процентах. |
2 мин | Учитель открывает ответы на слайде. "Проверьте себя. Если всё верно — поставьте себе '+' на полях. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте найти причину." | Сверяют свои решения с эталоном на экране. Проводят самоанализ ошибок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что база заложена. Осталось закрепить это дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить собственную деятельность и получить инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Вернемся к началу урока. Кто теперь может доказать, что 0,(9) = 1?" Вызывает одного ученика к доске. Проводит краткий опрос по итогам урока. | Ученик у доски пишет: x = 0,(9) => 10x = 9,(9) => 9x = 9 => x = 1. Класс аплодирует 'математическому фокусу'. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание и дает пояснения по уровням сложности. | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — безошибочно выполнены все задания самостоятельной работы, активно работал в паре, верно аргументировал выводы.
- "4" — допущена одна негрубая ошибка в вычислениях при верном алгоритме перевода дроби.
- "3" — верно выполнен перевод простой периодической дроби (типа 0,(x)), но возникли трудности с комбинированными дробями или вычислениями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме перевода дроби показался вам самым 'хитрым'? | Выявление осознанности понимания метода введения переменной. |
Где в заданиях ЕГЭ нам могут встретиться эти навыки? | Осознание практической значимости темы для итоговой аттестации. |
Сможете ли вы объяснить этот метод товарищу, который пропустил урок? | Оценка уровня интериоризации (усвоения) нового знания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что даже бесконечность можно приручить с помощью простых алгебраических инструментов. Рациональные числа — это фундамент, на котором строится вся математика старшей школы. На следующем уроке мы расширим наши горизонты до иррациональных и действительных чисел. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник Алимова, §1, № 3. | Отработка стандартного алгоритма перевода периодических дробей. |
Средний (повышающий) | № 5. | Выполнение комплексных вычислений, сочетающих разные виды дробей. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательское задание: «Всегда ли сумма двух периодических дробей является периодической дробью?» | Творческое задание на развитие математической интуиции и умение приводить контрпримеры. |
Контрольный вопрос: Как изменится знаменатель обыкновенной дроби, если в периоде десятичной дроби будет не одна цифра, а три?