Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие логарифма числа, научить вычислять значения простейших логарифмов и применять основное логарифмическое тождество для преобразования выражений.
- Образовательная задача: Ввести определение логарифма, рассмотреть ограничения на основание и аргумент, вывести основное логарифмическое тождество.
- Развивающая задача: Развивать умение анализировать, сравнивать и обобщать через проблемный диалог и исследовательскую деятельность.
- Воспитательная задача: Формировать навыки сотрудничества при работе в группах и парах, повышать мотивацию к изучению математики через демонстрацию её связи с другими науками.
- Профориентационная задача: Показать значимость логарифмических вычислений в современных технологиях и науке (химия, физика, сейсмология).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Осознание математики как части общечеловеческой культуры.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.
- Навыки смыслового чтения при работе с текстом учебника.
- Умение использовать информационно-коммуникационные технологии (ИКТ) для поиска и обработки информации.
- Способность организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение логарифма и условия его существования.
- Уметь переходить от логарифмического равенства к показательному и обратно.
- Владеть навыком вычисления простейших логарифмов без использования калькулятора.
- Уметь применять основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \) при решении задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом).
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Планирование последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата.
- Самоконтроль и коррекция деятельности.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации из учебной литературы.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Участие в коллективном обсуждении проблем.
- Интеграция в группу сверстников и построение продуктивного взаимодействия.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию в PowerPoint или интерактивный плакат в Genially с визуализацией определения логарифма.
- Распечатать карточки для групповой работы «Логарифмическое домино» (15 комплектов на пары).
- Проверить работоспособность ноутбука, проектора и интерактивной доски.
- Подготовить QR-коды со ссылками на онлайн-тренажер (например, LearningApps или Quizizz).
- Обеспечить наличие учебника «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы» (авторский коллектив по программе школы) на каждом столе.
- Подготовить демонстрационный материал: шкалу pH (химия) и шкалу Рихтера (география) для межпредметных связей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь. Сегодня у нас необычный урок — урок-открытие. Мы познакомимся с понятием, которое перевернуло мир вычислений в XVII веке и до сих пор помогает ученым измерять громкость звука, кислотность растворов и силу землетрясений. Проверьте, всё ли у вас готово: учебник, тетрадь, ручка и хорошее настроение.» | Приветствуют учителя, организуют рабочее место, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель демонстрирует слайд с цитатой Пьера-Симона Лапласа: «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». «Как вы думаете, ребята, почему математик так высоко оценил это понятие? Сегодня мы попробуем это выяснить». | Слушают учителя, размышляют над цитатой, высказывают предположения о том, что логарифмы как-то упрощают сложные расчеты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Для того чтобы совершить открытие, нам нужно вспомнить наш багаж знаний. Давайте проведем небольшую разминку».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторение опорных знаний о степенях и решение простейших показательных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: «Давайте вспомним степени. Чему равно \( 2^3 \)? \( 3^4 \)? \( 5^{-1} \)? \( 7^0 \)? А теперь решим устно уравнения, которые я выведу на экран: \( 2^x = 8 \), \( 3^x = 9 \), \( 5^x = 1/25 \)». | Отвечают с места: «8», «81», «0,2», «1». Решают уравнения: \( x=3 \), \( x=2 \), \( x=-2 \). |
2 мин | «Отлично. А теперь внимание на доску. Решите уравнение: \( 2^x = 5 \). Какое целое число будет корнем? Попробуйте подобрать. Между какими целыми числами лежит корень?» | Пытаются подобрать корень. Отвечают: «Целого корня нет. \( 2^2 = 4 \), а \( 2^3 = 8 \). Значит, \( x \) находится между 2 и 3». Фиксируют затруднение. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы столкнулись с проблемой: мы понимаем, что корень существует, но не можем его записать привычными цифрами. В математике для таких случаев придумывают новые символы. Именно так появилось понятие логарифма».
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: введение определения логарифма через работу с учебником и проблемный диалог.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебники на странице с темой | |
4 мин | Учитель выводит на доску общую схему: \( log_a b = x iff a^x = b ). «Давайте разберем ограничения. Почему \( a > 0 ) и \( a neq 1 )? Что будет, если \( a = 1 )? А может ли \( b ) быть отрицательным?» | Анализируют свойства степеней. Отвечают: «Если основание 1, то в любой степени будет 1, мы не получим другие числа. Отрицательное число \( b ) не получится, так как положительное число \( a ) в любой степени положительно». |
4 мин | «Вернемся к нашему уравнению \( 2^x = 5 ). Как теперь мы запишем его корень, используя новое слово?» Учитель показывает запись: \( x = log_2 5 ). «А теперь давайте выведем формулу. Если \( x = log_a b ), подставьте это \( x ) в уравнение \( a^x = b ). Что получится?» | Записывают корень уравнения. Подставляют значение и получают: \( a^{log_a b} = b ). Делают вывод: «Это и есть основное логарифмическое тождество!» |
Запись в тетрадях
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию a (где a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
Запись: \( \log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b \).
Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
Запись: \( \log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b \).
Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили мощный инструмент. Теперь давайте научимся им пользоваться».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка навыка вычисления логарифмов и применения тождества на типовых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает выполнить задания из учебника (фронтально у доски): «Вычислите: \( \log_2 16 \), \( \log_3 \frac{1}{27} \), \( \log_5 \sqrt{5} \), \( \log_7 7 \), \( \log_8 1 \)». | Ученики по очереди выходят к доске, объясняют решение: «\( \log_2 16 = 4 \), так как \( 2^4 = 16 \)»; «\( \log_3 \frac{1}{27} = -3 \), так как \( 3^{-3} = \frac{1}{27} \)» и т.д. |
4 мин | «А теперь применим тождество. Упростите: \( 3^{\log_3 10} \), \( 5^{2\log_5 3} \). Внимание на второй пример — здесь есть ловушка. Как избавиться от двойки перед логарифмом?» (Учитель дает подсказку про свойства степеней). | Решают в тетрадях. Первый пример: «10». Второй пример: «Это \( (5^{\log_5 3})^2 = 3^2 = 9 \)». Один ученик комментирует с места. |
Эталон решения
1) \( \log_2 16 = 4 \) (т.к. \( 2^4=16 \))
2) \( 5^{2\log_5 3} = (5^{\log_5 3})^2 = 3^2 = 9 \)
2) \( 5^{2\log_5 3} = (5^{\log_5 3})^2 = 3^2 = 9 \)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что основы усвоены. Пора переходить к командной игре!»
Этап 5. Групповая работа с элементами игры и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: закрепление материала в игровой форме, развитие коммуникативных навыков и навыков работы с цифровыми ресурсами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Приём «Логарифмическое домино». Учитель раздает на каждую парту набор карточек. На одной стороне — логарифмическое выражение, на другой — число (ответ к другому выражению). «Ваша задача в парах — собрать замкнутую цепь. Кто закончит первым — поднимает руку». | Работают в парах, вычисляют логарифмы, сопоставляют карточки. Обсуждают сложные случаи, помогают друг другу. |
3 мин | Учитель выводит на экран QR-код со ссылкой на короткий интерактивный тест (5 вопросов) в LearningApps. «Ребята, отсканируйте код. Это ваш пропуск к следующему уровню. Проверьте себя индивидуально». | Сканируют код смартфонами (или один ученик выполняет у интерактивной доски), проходят тест, сразу видят свой результат. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Молодцы! Почти все справились безошибочно. А теперь — минутка межпредметных связей».
Этап 6. Межпредметные связи и творческий контекст (4 мин)
Цель этапа: показать практическую значимость логарифмов в других науках.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель: «Знаете ли вы, что кислотность воды \( pH \) — это отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода? А громкость звука в децибелах рассчитывается через логарифм отношения интенсивностей? Природа любит логарифмы. Даже раковина наутилуса закручена по логарифмической спирали». Демонстрирует слайды с примерами. | Слушают, задают вопросы. Удивляются связи математики с биологией и химией. Записывают в тетрадь краткий факт: «Логарифмы используются в шкале Рихтера и шкале pH». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наше исследование подходит к концу. Давайте подведем итоги».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: самооценка результатов деятельности, осознание метода построения и границ применения нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход». «Напишите на листочке одну вещь, которая была сегодня самой понятной, и одну, которая вызвала затруднение. Сдайте мне при выходе». Раздает листы самооценки. | Заполняют листы самооценки, формулируют свои затруднения и успехи. |
1 мин | Объясняет домашнее задание. «Задание дифференцированное. Выберите тот уровень, который вам по силам, или попробуйте творческое задание». | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно выполнил все вычисления в классной работе, активно участвовал в проблемном диалоге, безошибочно собрал «Домино» и прошел тест на 100%.
- «4» — допущены 1-2 негрубые ошибки в вычислениях, ученик понимает определение, но испытывает небольшие затруднения при применении тождества в сложных примерах.
- «3» — ученик знает определение, но путает основание и показатель при вычислениях, выполнил менее половины заданий теста.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие для основания логарифма самое важное? | Проверка усвоения ограничений определения. |
Сможете ли вы теперь решить уравнение \( 3^x = 10 \)? | Оценка понимания прикладного значения логарифма. |
Что в групповой работе помогло вам быстрее справиться с заданием? | Анализ коммуникативных навыков и командного взаимодействия. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы отлично поработали! Мы не просто выучили новую формулу, мы научились видеть за символами реальные процессы. Помните, что логарифм — это всего лишь вопрос:
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №15.1 - 15.10 (четные) | Отработка определения и вычисление простейших значений. |
Средний (повышающий) | Учебник, №15.25, 15.28 | Применение основного логарифмического тождества в комбинированных примерах. |
Продвинутый (творческий) | Мини-проект «Логарифмы вокруг нас» | Подготовить 3 слайда или плакат о применении логарифмов в музыке, архитектуре или финансах. |
Контрольный вопрос: Существует ли \( \log_3 (-9) \)? Почему?