Логарифм числа. Определение и простейшие свойства
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие логарифма числа, научить применять определение для вычисления простейших логарифмов и решения уравнений вида a^x = b.
- Задача образовательная: Обеспечить усвоение определения логарифма, основного логарифмического тождества и ограничений на основание и аргумент.
- Задача развивающая: Развивать навыки логического мышления, умение анализировать, сравнивать и обобщать математические факты.
- Задача воспитательная: Формировать культуру математической речи, ответственное отношение к учебному труду и умение работать в режиме самоконтроля.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к профильному ЕГЭ).
- Развитие критического мышления через анализ математических ограничений.
- Формирование навыков самоорганизации и самооценки.
Метапредметные
- Познавательные: умение переводить информацию из одной знаковой системы в другую (из степени в логарифм).
- Регулятивные: способность ставить цели, планировать шаги по решению проблемы и корректировать действия.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, использовать математическую терминологию в дискуссии.
Предметные
- Знать определение логарифма и основное логарифмическое тождество.
- Уметь вычислять логарифмы по определению, находить область допустимых значений логарифмических выражений.
- Владеть навыком решения простейших показательных уравнений через введение логарифма.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между учебной деятельностью и будущей профессиональной сферой (инженерия, IT, экономика).
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Прогнозирование результата и уровня усвоения материала.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 экземпляров.
- Подготовить презентацию с графиками показательной функции и проблемным уравнением.
- Проверить наличие в кабинете таблицы степеней чисел от 2 до 10.
- Открыть учебник (Алгебра 10-11 кл, под ред. Алимова) на стр. 74.
- Заготовить на доске сетку для приёма «Знаю — Хочу узнать — Узнал».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к восприятию новой темы, создать рабочую атмосферу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы начинаем одну из самых фундаментальных тем алгебры. Логарифмы — это не просто значки в учебнике, это инструмент, который позволил ученым прошлого совершать великие географические открытия и рассчитывать орбиты планет. Как сказал Лаплас: "Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов". Готовы ли вы сегодня "удвоить" свою эффективность?» | Ученики приветствуют учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие тетрадей и принадлежностей. Записывают дату в тетрадях. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Для того чтобы освоить этот мощный инструмент, нам нужно вспомнить базу — степени чисел. Переходим к разминке».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить свойства степеней и значения стандартных степеней, необходимые для введения понятия логарифма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте проведем блиц-опрос. Я называю выражение, вы — результат. 2 в 3-й степени? 3 в 4-й? 5 в -1-й? 7 в нулевой? 1/2 в степени -3?» Учитель фиксирует ответы на доске в виде таблицы: основание, показатель, результат. | Ученики быстро отвечают с места: «8», «81», «0.2», «1», «8». Записывают значения в черновик. |
2 мин | «Теперь решим простейшие уравнения: 2^x = 16, 3^x = 1/9, 5^x = 125. Как мы находим x?» | Ученики отвечают: «x=4», «x=-2», «x=3». Поясняют, что подбирают степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы отлично справляемся, когда результат — целое число. Но всегда ли так бывает в жизни и математике?»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (5 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, демонстрирующую недостаточность имеющихся знаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Попробуйте решить уравнение: 2^x = 5. Между какими целыми числами лежит корень? Почему мы не можем назвать его точно?» Учитель использует сократовский диалог. | Ученики рассуждают: «2 во второй — 4, 2 в третьей — 8. Значит x где-то между 2 и 3. Но точного целого числа нет. Мы не знаем, как это записать». |
2 мин | «Верно. Возникает противоречие: корень существует (графики y=2^x и y=5 пересекаются), но привычных нам символов для его записи не хватает. Какую задачу мы поставим перед собой на этот урок?» | Ученики формулируют цель: «Найти способ записывать и вычислять такие показатели степени». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Этот новый символ и называется логарифмом. Запишем тему урока: "Логарифм числа"».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: дать определение логарифма, ввести обозначение и проанализировать ограничения (ОДЗ).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Запишем определение: Логарифмом положительного числа b по основанию a (где a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. Запись: log_a b = c тогда и только тогда, когда a^c = b». Учитель выделяет рамкой на доске условия: b > 0, a > 0, a ≠ 1. | Ученики записывают определение и формулу в тетрадь. Обводят условия на a и b ярким цветом. |
4 мин | «Давайте обсудим ограничения. Почему b должно быть больше 0? Почему a не может быть равно 1? Что будет, если возводить 1 в любую степень?» Учитель стимулирует дискуссию. | Ученики предполагают: «Положительное число в любой степени останется положительным, поэтому b > 0. Если a = 1, то 1 в любой степени — это 1, мы не сможем получить другие числа». |
3 мин | «Из определения вытекает основное логарифмическое тождество: a^(log_a b) = b. Это просто перефразированное определение. Запишите его. Пример: 3^(log_3 5) = ?» | Ученики записывают тождество. Отвечают: «Будет 5». |
Запись в тетрадях
Определение: logab = c ⇔ ac = b (b > 0, a > 0, a ≠ 1)
Примеры: log28 = 3, так как 23 = 8; log3(1/9) = -2, так как 3-2 = 1/9.
Основное тождество: alogab = b.
Примеры: log28 = 3, так как 23 = 8; log3(1/9) = -2, так как 3-2 = 1/9.
Основное тождество: alogab = b.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть инструмент. Давайте научимся им пользоваться на практике».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык вычисления логарифмов по определению на простых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель вызывает к доске по очереди троих учеников для решения примеров: 1) log_5 25; 2) log_2 (1/16); 3) log_7 √7. «Проговаривайте алгоритм: в какую степень возвести основание...» | Ученики решают у доски и в тетрадях. Проговаривают: «Чтобы получить 25, нужно 5 возвести во 2-ю степень, значит ответ 2». |
3 мин | «А теперь устно: чему равен log_a 1? А log_a a?» Учитель фиксирует свойства на доске. | Ученики отвечают: «log_a 1 = 0, так как любое число в нулевой степени — 1. log_a a = 1, так как a в первой степени — это a». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Базовые правила ясны. Пришло время проверить себя в индивидуальной работе».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: организовать дифференцированное применение знаний, выявить уровень усвоения темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздает карточки с тремя уровнями. «Выберите уровень, который вам по силам. Уровень А — база, Уровень Б — стандарт, Уровень В — для тех, кто метит в профиль и хочет решать задачи ЕГЭ». | Ученики выбирают уровень и самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
2 мин | Учитель выводит эталон ответов на экран. «Проверьте себя. Если есть ошибки — поставьте знак вопроса рядом с примером». | Ученики сверяют ответы, проводят самооценку. Поднимают руки те, кто выполнил всё без ошибок. |
Эталон решения (Уровень Б)
1) log327 = 3; 2) log1/24 = -2; 3) 5log512 = 12; 4) Решить 2x = 7: x = log27.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибки — это точки роста. Мы разберем их на консультации, а сейчас подведем итоги урока».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить эмоциональное состояние и успешность деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вернемся к нашему уравнению 2^x = 5. Как теперь мы запишем его корень? (Ответ: x = log_2 5). Что нового вы узнали сегодня? Какое ограничение кажется вам самым важным?» Учитель проводит краткий опрос. | Ученики отвечают на вопросы, формулируют главный вывод урока. Заполняют колонку «Узнал» в таблице на доске. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. «Спасибо за работу! Сегодня мы открыли дверь в мир логарифмов, за которой скрывается еще много интересного». | Ученики записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), аргументация четкая, ошибок в вычислениях нет.
- «4» — выполнен основной объем заданий, допущены 1-2 негрубые ошибки в вычислениях при верном алгоритме.
- «3» — выполнен только уровень А с минимальными недочетами, или уровень Б выполнен наполовину.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое из условий (a > 0, a ≠ 1, b > 0) чаще всего забывается? | Выявление зон риска при выполнении заданий на ОДЗ. |
Сможете ли вы объяснить младшему брату, что такое логарифм, без использования учебника? | Проверка глубины понимания сути понятия, а не просто заучивания формулы. |
В каком моменте урока вы почувствовали «ага-эффект» (озарение)? | Определение наиболее эффективных методических приемов для данного класса. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сделали важный шаг в освоении высшей математики. Логарифмы — это язык, на котором говорят звук, свет и даже рост населения Земли. Если сегодня у вас остались вопросы по вычислениям — не переживайте, на следующем уроке мы изучим свойства, которые сделают расчеты еще проще. Главное — мы поняли смысл: логарифм — это просто показатель степени. До встречи на следующем уроке!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 267, 268 | Вычислить логарифмы целых чисел и дробей. |
Средний (повышающий) | Учебник, № 271, 273 | Найти значение переменной x, находящейся в основании или аргументе. |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка «ЕГЭ-Профиль» | Задания №5 и №9 из открытого банка ФИПИ на вычисление логарифмических выражений. |
Контрольный вопрос: «Существует ли логарифм отрицательного числа? Почему?»