Математическое ожидание в жизни

Слайд 1. Математическое ожидание в жизни и не только

Страхование, лотереи и сумма случайных величин

Слайд 2. Математическое ожидание

Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, к которому приближается результат при большом числе повторений.

Если случайная величина $X$ принимает значения $x_1,x_2,\dots ,x_n$ с вероятностями $p_1,p_2,\dots ,p_n$, то

$M(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_n{p}_n$.

Это не обязательно результат одного опыта. Это ориентир для долгой серии опытов.

Слайд 3. ЕГЭ: вычисляем математическое ожидание

1. Выделите все возможные значения случайной величины $X$ и их вероятности. Оформите данные в таблицу: значение $x_i$ — вероятность $p_i$.

2. Проверьте условие вероятностной модели: сумма всех вероятностей должна быть равна $1$.

3. Используйте формулу математического ожидания: $M(X)=\sum x_i{p}_i$, то есть каждое значение умножьте на его вероятность, а результаты сложите.

4. Сделайте быструю проверку: математическое ожидание должно находиться между минимальным и максимальным возможными значениями $X$. Если это не так, ищите ошибку.

Слайд 4. Лотерея: удача или расчёт?

Билет стоит 100 рублей.

Вероятность выигрыша 500 рублей — 0,1.

Во всех остальных случаях выигрыш равен 0.

Средний выигрыш:

$M(X)=500\cdot 0,1+0\cdot 0,9=50$ рублей.

Игрок платит 100 рублей, а средний выигрыш составляет 50 рублей.

Средний финансовый результат:

$50-100=-50$ рублей.

В долгой серии игр организатор получает преимущество. Для отдельного билета результат всё равно может быть любым.

Слайд 5. Страхование: зачем считать средний риск

• Страховая компания оценивает вероятность страхового случая.

• Для каждого случая определяют возможную выплату.

• Умножают выплату на её вероятность.

• Складывают полученные значения.

• Получают ожидаемую выплату по одному договору.

Если ожидаемая выплата равна 12 000 рублей, цена полиса должна учитывать эту сумму, расходы компании и резерв.

Слайд 6. Математическое ожидание суммы

Для случайных величин $X$ и $Y$ действует свойство линейности:

$M(X+Y)=M(X)+M(Y)$.

Важно: независимость величин не требуется.

Пример: за первый день доход имеет ожидание 300 рублей, за второй — 450 рублей. Тогда ожидаемый доход за два дня:

$M(X+Y)=300+450=750$ рублей.

Слайд 7. Игровой эксперимент: собери прогноз

Бросьте кубик и запишите число очков. Повторите опыт пять раз.

Для одного броска найдите среднее теоретическое значение: $M(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$.

Сравните среднее по вашим броскам с числом $3,5$. Объясните, почему они могут отличаться.

Слайд 8. Теоретическое ожидание и реальный результат

• Рассчитывается заранее.

• Учитывает все исходы и их вероятности.

• Описывает долгосрочную тенденцию.

• Не обещает результат одного опыта.

• Получается по уже проведённым опытам.

• Зависит от конкретной серии результатов.

• При увеличении числа опытов обычно приближается к ожиданию.

• Может заметно колебаться в короткой серии.

Слайд 9. «Среднее не предсказывает один исход»

— Главная идея математического ожидания

Слайд 10. Выводы

• Математическое ожидание — долгосрочный средний ориентир случайной величины.

• В лотереях оно помогает оценить выгодность игры.

• В страховании оно помогает оценить ожидаемые выплаты и риск.

• Для суммы случайных величин выполняется правило $M(X+Y)=M(X)+M(Y)$.

• Независимость слагаемых для этого правила не обязательна.

• Перед решением задачи составьте список исходов, вероятностей и соответствующих результатов.

Слайд 11. Решим задачи

1. Случайная величина $X$ принимает значения 0, 1, 2 и 5 с вероятностями 0,2; 0,3; 0,4 и 0,1 соответственно. Найдите $M(X)$.

2. В таблице распределения случайной величины $X$ указаны значения 1, 3, 7 и 10, а вероятности равны 0,1; 0,2; 0,5 и 0,2. Вычислите математическое ожидание.

3. Случайная величина принимает значения 2, 4, 6 и 8. Вероятности первых трёх значений равны 0,2; 0,3 и 0,1. Найдите вероятность значения 8 и математическое ожидание.

4. Математическое ожидание выигрыша в игре равно 120 рублей. Игрок платит за участие 150 рублей. Определите средний финансовый результат игрока за одну игру.